Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी भी समुच्चय का केवल एक ही शून्य-तत्व उपसमुच्चय होता है, जो शून्य समुच्चय \(\emptyset\) है। इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में शून्य-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या 1 है। निकटवर्ती गलत विकल्पों का कारण: विकल्प D (8) कुल उपसमुच्चयों की कुल संख्या है (\(2^3\)) पर वह शून्य-तत्व उपसमुच्चयों की संख्या नहीं बताता। परीक्षा सुझाव: हर समय याद रखें कि किसी भी सेट का सिर्फ एक खाली उपसमुच्चय होता है और कुल उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। / Every set has exactly one empty subset, namely \(\emptyset\). Thus among the subsets in \(\mathcal{P}(A)\) there is exactly one empty subset. Why other options are wrong: option D (8) is the total number of subsets \(2^3\), not the count of empty subsets. Exam tip: remember “one empty subset per set” and that the total number of subsets is \(2^n\) for a set of size \(n\).
घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा मूल समुच्चय दोनों होते हैं। यहां पूरा मूल समुच्चय ({5}) है। / A power set contains both \(\emptyset\) and the whole original set. Here the whole original set is ({5}).
A. क्योंकि (3) (A) में नहीं है/because (3) is not in (A)
Explanation
Simple Explanation
({1,2,3}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि इसमें अतिरिक्त तत्व (3) है। घात समुच्चय में केवल उपसमुच्चय आते हैं। / ({1,2,3}) is not a subset of (A) because it has the extra element (3). A power set contains only subsets.
किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र \(2^{n}\) होता है जहाँ \(n\) मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=2\) इसलिए \(2^{2}=4\)। \(\mathcal{P}(A)\) के उपसमुच्चय हैं: \(\varnothing,\ \{किताब\},\ \{कलम\},\ \{किताब,\, कलम\}\)। विकल्प B (3) गलत है क्योंकि वह शून्य-उपसमुच्चय (\(\varnothing\)) को नहीं गिनता या किसी उपसमुच्चय की अनुपस्थिति का परिणाम होता है। परीक्षा टिप: छोटे सेटों के लिए पहले सभी उपसमुच्चयों की सूची बना लें या सीधे सूत्र \(2^{n}\) लागू करें। / The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^{n}\). Here \(n=2\), so \(2^{2}=4\). The subsets of \(\mathcal{P}(A)\) are \(\varnothing,\ \{book\},\ \{pen\},\ \{book,\ pen\}\). Option B (3) is incorrect because it effectively omits the empty subset or counts only non-empty subsets. Exam tip: for small sets either list all subsets to verify or use the formula \(2^{n}\).
A. \({4,8}\subseteq A\) और \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)/\({4,8}\subseteq A\) and \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
(4) और (8) दोनों (A) में हैं इसलिए \({4,8}\subseteq A\) है। इसी कारण यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / Both (4) and (8) are in (A), so \({4,8}\subseteq A\). Therefore it is an element of (\mathcal{P}(A)).
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में A के सभी उपसमुच्चय एक-एक बार सूचीबद्ध होते हैं। पूरा समुच्चय (A) स्वयं एक उपसमुच्चय है और इसलिए वह केवल एक बार आता है। (A) में 4 घटक होने पर कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, पर यह कुल उपसमुच्चयों की संख्या है न कि किसी विशेष उपसमुच्चय की आवृत्ति। इसलिए सही उत्तर 1 है। प्रश्न-सुझाव: पावर सेट में हर उपसमुच्चय की एक ही नकल होती है — इसकी बार-बार गिनती नहीं होती। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) lists every subset of \(A\) exactly once. The whole set \(A\) is itself a subset and thus appears exactly once. Note that although the total number of subsets is \(2^4=16\), that counts all different subsets, not the multiplicity of any single subset. Hence the answer is 1. Exam tip: distinguish between the number of distinct subsets (\(2^n\)) and how many times a particular subset appears (always once).
({20}) (A) का एक उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) में होगा। सीधे (20) को घात समुच्चय का तत्व न समझें। / ({20}) is a subset of (A), so it will be in (\mathcal{P}(A)). Do not treat direct (20) as an element of the power set.
(A) में (3) तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। परीक्षा में (n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}) याद रखें। / Set (A) has (3) elements so its power set has \(2^3=8\) elements. Remember (n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}) for exams.
({x}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय में सीधे तत्व नहीं बल्कि उपसमुच्चय आते हैं। / ({x}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). A power set contains subsets not direct elements.
पूरक हमेशा किसी दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में निकाला जाता है। बिना (U) के पूरक स्पष्ट नहीं होता। / A complement is always found with respect to a given universal set. Without (U) the complement is not clear.
