Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पावर सेट की संख्या हमेशा मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या \(n\) पर \(2^{n}\) के रूप में होती है, यानी \(|\mathcal{P}(A)|=2^{n(A)}\)। यहाँ \(2^{n}=16\) दिया है, और \(16=2^{4}\) है, अतः \(n(A)=4\)। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि \(8=2^{3}\) होता, जो कि \(16\) नहीं है। परीक्षा युक्ति: ऐसे प्रश्नों में दी हुई संख्या को आधार 2 की घात में लिखकर सीधे n निकालें (या लागू करें \(n=\log_{2}(\text{size})\))। / The size of a power set of a set with \(n\) elements is \(2^{n}\), i.e. \(|\mathcal{P}(A)|=2^{n(A)}\). Given \(2^{n}=16\) and since \(16=2^{4}\), we get \(n(A)=4\). Option D (8) is incorrect because \(8=2^{3}\), not 16. Exam tip: write the given power-set size as a power of 2 or use \(n=\log_{2}(\text{size})\) to find \(n\) quickly.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({3}) हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{3}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({3}). So the power set is \({\emptyset,{3}}\).
\(\{1,9\})\) में मौजूद दोनों तत्त्व (1 और 9) सेट \(A\) में भी हैं, अतः \(\{1,9\}\subseteq A\)। पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(A\) के सभी उपसमुच्चय तत्व के रूप में होते हैं, इसलिए \(\{1,9\}\in \mathcal{P}(A)\) सत्य है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व संख्याएँ हैं न कि उपसमुच्चय; विकल्प C निराधार है क्योंकि युनिवर्सल सेट \(U\) को निर्दिष्ट नहीं किया गया है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(\{1,9\}\) वास्तव में \(A\) का उपसमुच्चय है। परीक्षा-सुझाव: पावर सेट और उपसमुच्चय के बीच फर्क स्पष्ट रखें — उपसमुच्चय होने पर वह पावर सेट का तत्व होता है। / Both elements 1 and 9 of \(\{1,9\}\) are members of \(A\), so \(\{1,9\}\subseteq A\). The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains every subset of \(A\) as an element, therefore \(\{1,9\}\in\mathcal{P}(A)\) is true. Option A is wrong because elements of \(A\) are numbers, not subsets; option C is irrelevant since the universal set \(U\) is not specified; option D is false because \(\{1,9\}\) is indeed a subset of \(A\). Exam tip: remember that being a subset makes a set an element of the power set.
रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय \(\emptyset\) होता है। इसलिए (\mathcal{P}\(\emptyset\)) में (1) तत्व है। / The empty set has only one subset which is \(\emptyset\). Hence (\mathcal{P}\(\emptyset\)) has (1) element.
यहाँ \(A\) के दो तत्व हैं: \(\emptyset\) और \(1\)। इसलिए \(n(A)=2\)। किसी भी समुच्चय के लिए शक्ति समुच्चय (power set) के तत्वों की संख्या की सामान्य सूत्र \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) है, अतः \(2^{2}=4\)। गलत विकल्पों का स्पष्टीकरण: (B) = 2 चुनने वाले अक्सर \(n(A)\) (तत्वों की संख्या) को ही उत्तर समझ लेते हैं, जबकि प्रश्न शक्ति समुच्चय की संख्या पूछ रहा है; (D) = 8 तब गलत होगा जब कोई त्रुटिवश A में तीन तत्व मान ले (क्योंकि \(2^3=8\))। परीक्षा-सुझाव: पहले स्पष्ट रूप से \(n(A)\) लिखें और फिर हमेशा \(2^{n(A)}\) लागू करें; ध्यान रखें कि \(\emptyset\) यदि A का सदस्य है तो वह भी एक सामान्य तत्व माना जाएगा। / Set \(A\) has two elements: \(\emptyset\) and \(1\), so \(n(A)=2\). The number of subsets (power set size) is given by \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Therefore \(2^{2}=4\). Why the distractors are wrong: option B (2) confuses the count of elements of \(A\) with the count of subsets; option D (8) would be correct only if \(A\) had three elements (since \(2^3=8\)). Quick exam tip: always compute \(n(A)\) first, then use \(2^{n(A)}\); also remember that an occurrence of \(\emptyset\) inside a set is treated as a single element, not as “no element”.
B. चश्मा न पहनने वाले कक्षा के विद्यार्थी/class students not wearing glasses
Explanation
Simple Explanation
पूरक में उसी (U) के अंदर वे तत्व आते हैं जो दिए गए समुच्चय में नहीं हैं। यहां (G') चश्मा न पहनने वाले विद्यार्थियों को दिखाता है। / A complement contains elements inside (U) that are not in the given set. Here (G') means students not wearing glasses.
समुच्चय \(A\) में चार तत्व हैं: \(p,q,r,s\)। प्रत्येक तत्व से केवल एक एकल उपसमुच्चय बनता है (जैसे \(\{p\},\{q\},\{r\},\{s\}\)) इसलिए एक‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या 4 है। विकल्प D (8) भ्रम में डाल सकता है — यह \(2^3\) जैसा कोई संबंध दर्शाता है; जबकि कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, एक‑तत्व वाले ही 4 हैं। परीक्षा सुझाव: किसी सेट के एक‑तत्व उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा सेट के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / Set \(A\) has four elements: \(p,q,r,s\). Each element produces exactly one singleton subset (\(\{p\},\{q\},\{r\},\{s\}\)), so there are 4 singleton subsets. Option D (8) is incorrect — 8 is not the number of singletons (total subsets are \(2^4=16\)). Exam tip: the number of singleton subsets equals the number of elements in the set (n singletons for an n‑element set).
({1,4}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि (4) (A) में नहीं है। इसलिए यह घात समुच्चय में नहीं आएगा। / ({1,4}) is not a subset of (A) because (4) is not in (A). So it will not be in the power set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी लिखें। / A two element set has four subsets. Include \(\emptyset\) and the whole set in the power set.
A में कुल 4 तत्व हैं। किसी भी दो-तत्व वाले उपसमुच्चय की संख्या संयोजन से दी जाती है: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2}=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। विकल्प 4 गलत है — वह \(\binom{4}{1}=4\) के कारण एक-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या है; विकल्प 8 भी गलत है और कभी-कभी गलत तरीके से \(2^{n-1}\) जैसा फॉर्मूला लागू करने पर आता है। परीक्षा टिप: दो-तत्व के लिए सीधे \(nC2=\dfrac{n(n-1)}{2}\) का प्रयोग करें। / Set A has 4 elements. The number of 2-element subsets is given by combinations: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2}=6\). So 6 is correct. Option 4 is incorrect — it equals \(\binom{4}{1}=4\), the number of singletons; option 8 is also incorrect and often arises from misapplying formulas like \(2^{n-1}\). Exam tip: remember the shortcut \(nC2= n(n-1)/2\) for two-element subsets.
