Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(1) को स्थिर रखकर बाकी (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (4) उपसमुच्चय हैं। / Keep (1) fixed and choose or not choose the remaining (2) elements in \(2^2=4\) ways. So there are (4) such subsets.
(15) को न लेकर बाकी (2) तत्वों से \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में हटे हुए तत्व के बाद बचे तत्व गिनें। / Without (15), the remaining (2) elements form \(2^2=4\) subsets. In exams count the elements left after removing the fixed element.
तीन तत्वों वाले समुच्चय का तीन तत्व वाला उपसमुच्चय केवल वही पूरा समुच्चय होता है। इसलिए संख्या (1) है। / The only three element subset of a three element set is the whole set itself. So the number is (1).
A. \({1}\subseteq A\) और \({1}\in\mathcal{P}(A)\)/\({1}\subseteq A\) and \({1}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({1}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए वह घात समुच्चय का तत्व है। सीधे (1) को (\mathcal{P}(A)) का तत्व न मानें। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of the power set. Do not treat direct (1) as an element of (\mathcal{P}(A)).
पहले (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। फिर (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (n(\mathcal{P}(A))=22=4). Then (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^4=16\) elements.
(2) और (4) को रखना अनिवार्य है और (6) को लेने या न लेने के (2) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (2) उपसमुच्चय हैं। / Keeping (2) and (4) is compulsory and (6) can be taken or not taken in (2) ways. So there are (2) such subsets.
सभी अंक (0) से (9) तक होते हैं और (A) में सम अंक हैं। बचे हुए विषम अंक (1,3,5,7,9) हैं। / All digits are from (0) to (9), and (A) contains even digits. The remaining odd digits are (1,3,5,7,9).
1 को समाहित करना और 4 को न समाहित करना दोनों निश्चित हैं। बचे हुए तत्व 2 और 3 के लिए प्रत्येक के पास होने/न होने के दो-दो विकल्प हैं, इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\) होगी। नज़दीकी भ्रम (विकल्प D = 8): यदि कोई 4 मान लेता है तो वह तीन स्वतंत्र तत्व मान कर \(2^3=8\) गिन सकता है — पर यहाँ 4 अंशित नहीं होना तय है, इसलिए एक विकल्प घट जाता है। परीक्षा टिप: पहले शामिल/बहिष्कृत किए हुए तत्व तय कर लें, फिर शेष तत्वों के सबसमुच्चयों की गिनती करें। / Including 1 and excluding 4 are fixed conditions. The remaining elements 2 and 3 are free, each having 2 choices (in or out), so the number of subsets is \(2^2=4\). Closest distractor (option D = 8) arises from mistakenly treating three elements as free and counting \(2^3=8\), but since 4 is fixed excluded, only two elements are free. Exam tip: fix required inclusions/exclusions first, then count subsets of the remaining elements.
(A) में दो अलग तत्व \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। / (A) has two distinct elements \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=22=4).
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। एक तत्व वाले उपसमुच्चय (4) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of one element subsets is (4).
