Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दो समुच्चय असंबद्ध तब होते हैं जब उनका परस्पर छेदन शून्य हो, अर्थात् उनका गुणनखंड (intersection) \(\varnothing\) हो। किसी भी उपसमुच्चय \(X\subseteq A\) के लिए \(X\cap A=X\) होता है (क्योंकि \(X\) के सभी तत्व \(A\) के भी तत्व हैं)। यह तभी \(\varnothing\) होगा जब \(X=\varnothing\) हो। इसलिए केवल खाली उपसमुच्चय \(\varnothing\) ही \(A\) से असंबद्ध है, इसलिए संख्या 1 है. नज़दीकी भ्रमित विकल्प: 4 उपसमुच्चय एक-तत्व वाले हैं पर उनका प्रत्येक एक तत्व \(A\) में है इसलिए वे असंबद्ध नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: असंबद्धता के लिए हमेशा समुच्चयों का अंतर/छेदन चेक करें — खाली समुच्चय ही किसी भी सेट से असंबद्ध हो सकता है। / Two sets are disjoint if their intersection is empty, i.e. equals \(\varnothing\). For any subset \(X\subseteq A\) we have \(X\cap A=X\), so the intersection can be \(\varnothing\) only when \(X=\varnothing\). Thus only the empty subset is disjoint from \(A\), giving 1. Closest distractor: 4 equals the number of singleton subsets, but each singleton contains an element of \(A\) so its intersection with \(A\) is not empty. Exam tip: test disjointness by computing intersection; remember \(|P(A)|=2^{|A|}=16\) but most subsets intersect \(A\) except \(\varnothing\).
कुल 70 विद्यार्थियों में से 45 विद्यार्थी हिंदी पढ़ते हैं, 40 अंग्रेजी पढ़ते हैं और 30 दोनों भाषाएँ पढ़ते हैं। तो कम से कम कितने विद्यार्थी कम से कम एक भाषा पढ़ते हैं?
दो समूहों के लिए समावेशन-अपवर्जन सूत्र लागू करें: \(|H\cup E|=|H|+|E|-|H\cap E|\). यहाँ \(|H|=45,|E|=40,|H\cap E|=30\) इसलिए \(|H\cup E|=45+40-30=55\)। विकल्प B (85) असंभव है क्योंकि कुल छात्र केवल 70 हैं; यह दोहराए हुए गणना का परिणाम होगा अगर आप प्रतिच्छेद घटाने से पहले जोड़ते रहें। विकल्प C (15) और D (25) गलत हैं क्योंकि वे प्रतिच्छेद को अधिक घटाने या गलत तरीके से गणना करने से कम मान दे रहे हैं। परीक्षा टिप: हमेशा inclusion–exclusion सूत्र याद रखें और अंतिम उत्तर को कुल छात्रों से पार न होने दें। / Use the inclusion–exclusion formula for two sets: \(|H\cup E|=|H|+|E|-|H\cap E|\). With \(|H|=45,|E|=40,|H\cap E|=30\) we get \(|H\cup E|=45+40-30=55\). Option B (85) is impossible because it exceeds the total of 70 students and results from not subtracting the intersection; options C (15) and D (25) are undercounts caused by subtracting incorrectly or double-counting errors. Exam tip: always apply the inclusion–exclusion formula and check your answer against the total population.
यदि \(n(A)=78\), \(n(B)=69\), \(n(C)=63\), \(n(A\cap B)=30\), \(n(B\cap C)=25\), \(n(C\cap A)=21\) और \(n(A\cap B\cap C)=9\) हो, तो केवल समुच्चय A में कितने तत्व हैं?
केवल A में आने वाले तत्वों के लिए inclusion–exclusion प्रयोग करें: केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). क्योंकि तीनों में आने वाले तत्त्व दोनों जोड़-घटाव में दो बार घटे होते हैं इसलिए उन्हें एक बार वापस जोड़ा जाता है। यहाँ \(78-30-21+9=36\)। विकल्प (27) इसलिए गलत है क्योंकि वह त्रुटि से त्रिकूट (triple intersection) \(+9\) को जोड़ना भूल गया (\(78-30-21=27\))। अन्य विकल्प अधिक विचलित करने वाले हैं और गलत घटाव/जोड़ के परिणाम हैं। परीक्षा टिप: वेंस आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र को लेबल करें या केवल A का फार्मूला याद रखें। / Use inclusion–exclusion for the region only in A: Only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). The triple-overlap was subtracted twice when removing pairwise intersections, so add it back once. Substituting gives \(78-30-21+9=36\). Answer 27 comes from forgetting to add the triple intersection (\(78-30-21=27\)), so that distractor is incorrect. The other choices result from other incorrect subtractions. Exam tip: draw the Venn diagram and label the seven regions or memorize the inclusion–exclusion expression for three sets.
किसी भी दो सेट के लिए \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहां हम सीधे \(n(A)\) और \(n(B)\) नहीं जानते, पर दोनों “केवल” क्षेत्रों का योग यानी \(n(A-B)+n(B-A)\) बराबर होता है \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\)। इसलिए \(98-35=63\)। वैकल्पिक रूप से यह ही \(A\triangle B\) (symmetric difference) का आकार भी है। सबसे निकट भ्रमजनक विकल्प \(133\) है — वह \(n(A)+n(B)\) का मान होगा जिसे आप तब पाते हैं जब आप सम्मिलन सूत्र को \(n(A)+n(B)=n(A\cup B)+n(A\cap B)\) की तरह अव्यवस्थित रूप से समझ लें; पर प्रश्न सिर्फ केवल क्षेत्रों का योग पूछता है। परिक्षा-सुझाव: एक साधारण वेन चित्र बनाकर "केवल A", "केवल B" और "A∩B" को लेबल करें — इससे गणना तात्कालिक हो जाती है। / For two sets, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). We do not need individual values of \(n(A)\) and \(n(B)\); the sum of the "only" regions \(n(A-B)+n(B-A)\) equals \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\). Thus \(98-35=63\). This is also the size of the symmetric difference \(A\triangle B\). The closest distractor 133 corresponds to \(n(A)+n(B)\), which some may mistakenly choose by rearranging the union formula, but it is not the sum of only regions. Exam tip: draw a Venn diagram and label the three regions — union minus intersection gives the desired value immediately.
\(A'\cap B\) का अर्थ है वे तत्व जो B में हैं पर A में नहीं — यानी \(B\setminus A\). समीकरण के अनुसार \(n(B)=n(A\cap B)+n(A'\cap B)\)। अतः \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A\cap B)=53-22=31\)। विकल्प (B) 42 दरअसल \(n(A)-n(A\cap B)=64-22\) है, जो A का वह भाग है जो B में नहीं है; यह प्रश्न में माँगा गया सेट नहीं है। विकल्प (D) 22 केवल इंटरसेक्शन \(A\cap B\) की संख्या है। विकल्प (C) 86 किसी गलत जोड़ का परिणाम हो सकता है (उदाहरण के लिए \(64+22\)) और प्रासंगिक नहीं है। परीक्षा सुझाव: दो-सेट Venn आरेख बनाकर B के भीतर के दो हिस्सों — \(A\cap B\) और \(A'\cap B\) — को चिन्हित करें और तुरंत \(n(B)=n(A\cap B)+n(A'\cap B)\) लागू करें। / \(A'\cap B\) means elements in B but not in A, i.e. \(B\setminus A\). Since \(n(B)=n(A\cap B)+n(A'\cap B)\), we get \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A\cap B)=53-22=31\). Option B (42) equals \(n(A)-n(A\cap B)=64-22\), which is the part of A outside B, not the required set. Option D (22) is just the intersection \(A\cap B\). Option C (86) likely arises from an incorrect addition (for example \(64+22\)) and is not relevant. Exam tip: draw a two-set Venn diagram and label the three regions — \(A\cap B\), \(A\setminus B\), and \(B\setminus A\) — then use \(n(B)=n(A\cap B)+n(B\setminus A)\).
संबंध में \(x\in A\), \(y\in B\) और \(y=x+2\) होना आवश्यक है। \(x=1\) पर \(y=3\), तथा \(x=2\) पर \(y=4\) मिलता है, इसलिए क्रमित युग्म \((1,3)\) और \((2,4)\) हैं। \(x=3\) पर \(y=5\) मिलता है, लेकिन \(5\notin B\), इसलिए \((3,5)\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: संबंध में केवल वही क्रमित युग्म लें जो दिए गए कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में हों। / A pair belongs to the relation only if \(x\in A\), \(y\in B\), and \(y=x+2\). For \(x=1\), we get \(y=3\), and for \(x=2\), we get \(y=4\), giving the pairs \((1,3)\) and \((2,4)\). For \(x=3\), \(y=5\), but \(5\notin B\), so \((3,5)\) is excluded. Exam tip: In a relation defined as a subset of \(A\times B\), retain only those ordered pairs whose second component belongs to \(B\).
समीकरण \(x+y=1\) से \(y=1-x\) मिलता है। \(x\in A\) के लिए जाँच करने पर मान्य युग्म \((-1,2)\), \((0,1)\) और \((1,0)\) मिलते हैं। \(x=2\) रखने पर \(y=-1\) आता है, जो \(B\) में नहीं है; इसलिए उसे शामिल नहीं किया जाएगा। अतः कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=1-x\) निकालकर देखें कि वह \(B\) का सदस्य है या नहीं। / From \(x+y=1\), we get \(y=1-x\). Checking each \(x\in A\) gives the valid pairs \((-1,2)\), \((0,1)\), and \((1,0)\). For \(x=2\), \(y=-1\), but \(-1\notin B\), so that pair is excluded. Therefore, the total number of pairs is 3. Exam tip: for every \(x\), calculate \(y=1-x\) and verify that \(y\) belongs to \(B\).
मान लें \(n(B)=m\)। तब \(n(A)=m+2\) और कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(A\times B)=n(A)n(B)\) होता है। इसलिए \(m(m+2)=24\), अर्थात् \(m^2+2m-24=0\)। इसके हल \(m=4\) और \(m=-6\) हैं, लेकिन समुच्चय की cardinality ऋणात्मक नहीं हो सकती। अतः \(n(A)=m+2=6\)। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या दोनों समुच्चयों की cardinalities के गुणनफल के बराबर होती है। / Let \(n(B)=m\). Then \(n(A)=m+2\), and the cardinality of a Cartesian product is given by \(n(A\times B)=n(A)n(B)\). Hence, \(m(m+2)=24\), or \(m^2+2m-24=0\). Its roots are \(m=4\) and \(m=-6\), but a set’s cardinality cannot be negative. Therefore, \(n(A)=m+2=6\). Exam tip: The number of ordered pairs in \(A\times B\) equals the product of the cardinalities of \(A\) and \(B\).
प्रत्येक \(x\) के लिए अनुमत \(y\) मान गिनें। \(x=1\) पर 4 मान, \(x=2\) पर 3 मान, \(x=3\) पर 2 मान और \(x=4\) पर 1 मान मिलता है। इसलिए कुल क्रमित युग्म \(4+3+2+1=10\) हैं। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें कि \((x,y)\) क्रमित युग्म है, इसलिए क्रम और प्रत्येक \(x\) के लिए अनुमत \(y\) मान दोनों का ध्यान रखना आवश्यक है। / Count the allowed values of \(y\) for each value of \(x\). For \(x=1\), there are 4 choices; for \(x=2\), 3 choices; for \(x=3\), 2 choices; and for \(x=4\), 1 choice. Thus, the total number of ordered pairs is \(4+3+2+1=10\), so option C is correct. Remember that \((x,y)\) is an ordered pair, and the count must include every valid \(y\) for each fixed \(x\).
प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(y\in B\) जाँचते हैं। \(x=1\) पर चारों मान \(2,4,6,8\) उपयुक्त हैं और \(x=2\) पर भी चारों मान उपयुक्त हैं। \(x=3\) पर केवल \(y=6\) के लिए \(6/3=2\) पूर्णांक है। इसलिए कुल युग्म \(4+4+1=9\) हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक \(x\) के लिए उपयुक्त \(y\) की संख्या अलग-अलग गिनें। / Check the elements of \(B\) for each value of \(x\in A\). For \(x=1\), all four values \(2,4,6,8\) give an integer quotient, and for \(x=2\), all four do so as well. For \(x=3\), only \(y=6\) works because \(6/3=2\) is an integer. Hence, the total number of ordered pairs is \(4+4+1=9\). Exam tip: count the valid values of \(y\) separately for each \(x\).
