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({2}) स्वयं (A) का अवयव है, इसलिए ({{2}}) (A) का उपसमुच्चय है और (P(A)) का अवयव है। परतों को गिनना जरूरी है। / ({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A) and an element of (P(A)). Counting the layers is essential.
(P(A)) में (8) अवयव हैं और \(\varnothing\) तथा (A) हटाने पर (8-2=6) बचते हैं। ये गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय हैं। / (P(A)) has (8) elements, and removing \(\varnothing\) and (A) leaves (8-2=6). These are non-empty proper subsets.
पहला कदम यह है कि \(A\cap B=\{2\}\)। यहाँ ऊपर्युक्त समुच्चय का समपूरक (complement) युनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष होगा: \((A\cap B)'=U\setminus\{2\}=\{1,3,4,5\}\)। इस समुच्चय के अवयवों की संख्या \(n=4\) है। किसी सेट के पावर सेट के अवयवों की संख्या \(2^{n}\) होती है, अतः \(2^{4}=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। निकटतम भ्रामक विकल्पों का कारण: 8 तब आएगा जब गलती से \(n=3\) मान लिया गया हो; 32 तब यदि पूरे युनिवर्स \(5\) के पावर सेट को माना गया हो; और 4 केवल समुच्चय के अवयवों की संख्या है न कि पावर सेट की। परीक्षा सलाह: पहले कटाक्ष (intersection) और फिर युनिवर्स के सापेक्ष complement निकालें, फिर ही \(2^{n}\) लागू करें। / Compute the intersection first: \(A\cap B=\{2\}\). The complement is taken with respect to the universal set \(U\), so \((A\cap B)'=U\setminus\{2\}=\{1,3,4,5\}\), which has cardinality \(n=4\). The power set of a set with \(n\) elements has \(2^{n}\) elements, hence \(2^{4}=16\). Thus 16 is correct. Why other choices are wrong: 8 would result from mistakenly using \(n=3\); 32 would be from (incorrectly) using the whole universe size \(5\) so \(2^{5}\); and 4 is just the size of the set, not the size of its power set. Exam tip: always find the complement relative to \(U\) and count its elements before applying \(2^{n}\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)'={1,2,4,5,6}), इसलिए (n(P\(A'\cup B'\))=25=32)। डी मॉर्गन नियम से गिनती आसान होती है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'={1,2,4,5,6}), so (n(P\(A'\cup B'\))=25=32). De Morgan's law makes counting easier.
(n(P(A))=23=8), (n(P(P(A)))=28=256), इसलिए (n(P(P(P(A))))=2^{256})। हर पावर सेट पर नई घात लगती है। / (n(P(A))=23=8), (n(P(P(A)))=28=256), so (n(P(P(P(A))))=2^{256}). Each power set adds a new exponent.
(1) वाले उपसमुच्चय (8) हैं और आकार (2) वाले \(\binom{4}{2}=6\) हैं। दोनों में (1) और एक अन्य वाला \(\binom{3}{1}=3\) है, इसलिए (8+6-3=11)। / Subsets containing (1) are (8), and size (2) subsets are \(\binom{4}{2}=6\). Their overlap is \(\binom{3}{1}=3\), so (8+6-3=11).
(a) हटाने पर (3) अवयव बचते हैं और इनके विषम आकार के उपसमुच्चय \(2^{3-1}=4\) हैं। निष्कासन के बाद ही आकार गिनें। / After excluding (a), (3) elements remain, and their odd-sized subsets are \(2^{3-1}=4\). Count the size after exclusion.
(2) स्थिर है और (1) निषिद्ध है, इसलिए (3,4,5) के \(2^3=8\) चयन होंगे। अनिवार्य और निषिद्ध अवयव अलग-अलग संभालें। / (2) is fixed and (1) is forbidden, so (3,4,5) have \(2^3=8\) choices. Handle compulsory and forbidden elements separately.
(n(P(B))=32) और (n(P(A))=8), इसलिए अंतर में (32-8=24) अवयव हैं। \(A\subseteq B\) होने से \(P(A)\subseteq P(B)\) है। / (n(P(B))=32) and (n(P(A))=8), so the difference has (32-8=24) elements. Since \(A\subseteq B\), \(P(A)\subseteq P(B)\).
सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(A' = U\setminus A = \{1,3,5,7\}\)। \(P(A')\) के वे उपसमुच्चय गिनने हैं जिनमें 1 और 7 दोनों अनिवार्य रूप से हों। इसलिए 1 और 7 निश्चित हैं, जबकि 3 और 5 में से प्रत्येक को शामिल करने या न करने के 2-2 विकल्प हैं। अतः ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2\times2=2^2=4\) है। विकल्प 16, \(A'\) के पूरे पावर सेट के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4\) है, लेकिन उसमें 1 और 7 का शामिल होना अनिवार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: अनिवार्य तत्वों को पहले निश्चित करके शेष तत्वों के लिए \(2^n\) का प्रयोग करें। / The complement is taken with respect to the universal set: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\). We need to count the subsets of \(A'\) that must contain both 1 and 7. These two elements are fixed, while 3 and 5 can each be either included or excluded. Therefore, the number of valid subsets is \(2\times2=2^2=4\). The value 16 is the size of the complete power set \(P(A')\), but it includes subsets that may not contain 1 and 7. Exam tip: fix the required elements first, then count the choices for the remaining elements using \(2^n\).
