Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सूत्र है \(n(P(X))=2^{n(X)}\)। दिया है \(n(P(A))=16=2^4\), इसलिए \(n(A)=4\)। यूनिवर्सल सेट में कुल तत्व \(7\) हैं, अतः पूरक सेट का क्रम होगा \(n(A')=n(U)-n(A)=7-4=3\)। अत: \(n(P(A'))=2^{n(A')}=2^3=8\)।
नजदीकी विचलन: विकल्प (C) 16 यह भूल है कि 16 मूलतः \(P(A)\) का क्रम है न कि \(P(A')\)। विकल्प (A) 4 को \(n(A)\) के साथ गलती से उत्तर समझा जा सकता है।
परिक्षा टिप: पहले हमेशा पहचानें कि कौन-सा संख्या सेट का क्रम है और कौन-सा उसके पावर सेट का (यानी \(2^{n(\cdot)}\) लागू करें)। / Use the identity \(n(P(X))=2^{n(X)}\). Since \(n(P(A))=16=2^4\), we get \(n(A)=4\). With \(n(U)=7\), the complement has size \(n(A')=n(U)-n(A)=7-4=3\). Therefore \(n(P(A'))=2^{n(A')}=2^3=8\).
Why other options are wrong: (C) 16 is the size of \(P(A)\), not \(P(A')\). (A) 4 is \(n(A)\), not a power-set size here. (D) 32 would correspond to \(2^5\), which has no basis from the given data.
Exam tip: Compute \(n(A)\) from \(n(P(A))\) first using logarithms base 2, then get \(n(A')\) via \(n(U)-n(A)\).
समझने का सिद्धांत: किसी समुच्चय X के पावर सेट की संख्या \(n(P(X))=2^{n(X)}\) होती है। यहाँ \(n(P(A'))=64=2^6\) इसलिए \(n(A')=6\)। चूँकि \(A'\) सार्वभौमिक समुच्चय के सापेक्ष A का पूरक है, इसलिए \(n(A)=n(U)-n(A')=10-6=4\)। गलत विकल्पों का संक्षिप्त कारण: C (6) को अक्सर गलत समझकर उत्तर मान लेते हैं क्योंकि वह वास्तव में \(A'\) का आकार है न कि \(A\)। B (5) और D (8) गणना त्रुटियाँ हैं — 64 का आधार-2 लॉगरिदम 6 होता है, न कि 5 या 8। परीक्छा टिप: पावर-सेट की संख्या देखकर सीधे \(n=X\) निकालने के लिए \(n=\log_2(n(P(X)))\) का प्रयोग करें। / Core idea: for any set X, \(n(P(X))=2^{n(X)}\). Given \(n(P(A'))=64=2^6\), so \(n(A')=6\). Since A' is the complement of A in the universal set, \(n(A)=n(U)-n(A')=10-6=4\). Why other choices fail: C (6) is the size of A' not A — mixing complement with the set is a common mistake. B (5) and D (8) are simple calculation errors (log base 2 of 64 is 6). Exam tip: use \(n(X)=\log_2(n(P(X)))\) to invert the power-set count quickly.
पावर सेट बराबर हों तो मूल समुच्चय बराबर होते हैं, इसलिए (A'=A) चाहिए। सीमित (U) में यह तभी संभव है जब (A) अपने पूरक के बराबर हो। / If power sets are equal, the original sets are equal, so (A'=A) is required. In a finite (U), this means (A) equals its complement.
कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) है। जिन उपसमुच्चयों में कम से कम 2 अवयव नहीं हैं वे हैं: खाली उपसमुच्चय (1) और एक-अवयवी उपसमुच्चय (कुल \(\binom{6}{1}=6\)) — कुल \(1+6=7\)। अतः कम से कम 2 अवयव वाले उपसमुच्चय = \(64-7=57\)।\nनज़दीकी विचलन: 56 इसलिए गलत है क्योंकि वह 8 घटाने की गलती का परिणाम होगा (कहीं एक और उपसमुच्चय गिन लिया गया)। 64 सभी उपसमुच्चयों को दर्शाता है और खाली/एक-अवयवी उपसमुच्चयों को अलग नहीं करता।\nपरीक्षा सुझाव: अक्सर पूरक विधि सरल रहती है — पहले \(2^n\) से आकार \(<2\) वाले उपसमुच्चयों की संख्या घटा दें, या सीधे \(\sum_{k=2}^{6}\binom{6}{k}\) की गणना करें। / Total number of subsets is \(2^6=64\). Subsets with fewer than 2 elements are the empty set (1) and the one-element subsets (\(\binom{6}{1}=6\)), total \(1+6=7\). Therefore subsets with at least 2 elements = \(64-7=57\).\nClosest distractor: 56 is wrong because it corresponds to subtracting 8 instead of 7 (a counting error). 64 is wrong because it includes size 0 and size 1 subsets.\nExam tip: Use the complement: compute \(2^n\) and subtract counts of sizes less than the required value, or evaluate \(\sum_{k=2}^{6}\binom{6}{k}\).
अधिकतम (2) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\) हैं। अधिकतम में सभी छोटे आकार जोड़ें। / Subsets with at most (2) elements are \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\). For at most, add all smaller sizes.
(a,b) स्थिर हैं और शेष (3) अवयवों के \(2^3=8\) चयन हो सकते हैं। दोनों अनिवार्य हों तो उन्हें पहले रख लें। / (a,b) are fixed, and the remaining (3) elements have \(2^3=8\) choices. When both are compulsory, place them first.
कुल \(2^5=32\) उपसमुच्चय हैं और (a,b) दोनों न होने वाले \(2^3=8\) हैं। इसलिए (32-8=24)। / There are \(2^5=32\) total subsets, and \(2^3=8\) subsets contain neither (a) nor (b). Thus (32-8=24).
सम योग पाने के लिए विषम अवयवों (1,3) में से सम संख्या चुनी जाएगी और सम अवयव स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2\cdot 2^2=8\)। पैरिटी में विषम अवयवों पर ध्यान दें। / For an even sum, choose an even number of odd elements from (1,3), and even elements are free, so \(2\cdot 2^2=8\). In parity questions, focus on odd elements.
A का U के सापेक्ष पूरक \(A'=\{2,4,6,8\}\) है — इसमें कुल 4 तत्व हैं। किसी सेट के पावर सेट में उपसमुच्चयों की संख्या नियम के अनुसार \(2^n\) होती है, अतः \(P(A')\) में कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होंगे। चूँकि मूल सेट \(A'\) में केवल सम संख्याएँ ही हैं, इसलिए ये सभी 16 उपसमुच्चय केवल सम संख्याएँ ही रखते हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प 8 इस गलत धारणा से आता है कि केवल 3 स्वतंत्र तत्व हों (\(2^3\)), और 32 यह मानकर कि 5 तत्व हैं (\(2^5\)) — दोनों गलत हैं। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा पूरक निकालकर उसमें कितने तत्व हैं गिनें, फिर पावर सेट की गिनती \(2^n\) का प्रयोग करें। / The complement relative to U is \(A'=\{2,4,6,8\}\), which has 4 elements. The number of subsets of an n-element set is \(2^n\), so \(P(A')\) has \(2^4=16\) subsets. Because every element of \(A'\) is even, every subset contains only even numbers — hence 16. The closest wrong option 8 corresponds to mistakenly using \(2^3\); 32 would imply \(2^5\). Quick exam tip: always form the complement with respect to the given universal set, count its elements, then apply \(2^n\).
A. केवल \({1}\in P(A)\) सही है/Only \({1}\in P(A)\) is correct
Explanation
Simple Explanation
({1}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए वह (P(A)) का अवयव है। लेकिन (1), (P(A)) का अवयव नहीं है, इसलिए \({1}\subseteq P(A)\) गलत है। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of (P(A)). But (1) is not an element of (P(A)), so \({1}\subseteq P(A)\) is false.
