Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(p) को स्थिर रखने पर बाकी (q,r) के \(2^2=4\) चयन होंगे। अनिवार्य अवयव को स्थिर मानें। / After fixing (p), the remaining (q,r) have \(2^2=4\) choices. Treat the compulsory element as fixed.
ठीक (3) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{3}=10\) होते हैं। पावर सेट में आकार आधारित गिनती के लिए संयोजन लगाएं। / Subsets with exactly (3) elements are \(\binom{5}{3}=10\). Use combinations for size-based counting in a power set.
(1) स्थिर है और (4) हटाया गया है, इसलिए (2,3) के \(2^2=4\) चयन होंगे। शर्तों को पहले स्थिर करें। / (1) is fixed and (4) is excluded, so (2,3) have \(2^2=4\) choices. Fix the conditions first.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और खाली उपसमुच्चय (1) है, इसलिए (15) गैर-रिक्त उपसमुच्चय हैं। गैर-रिक्त के लिए (1) घटाएं। / Total subsets are \(2^4=16\) and one subset is empty, so there are (15) non-empty subsets. Subtract (1) for non-empty subsets.
(P(A)) के अवयव (A) के सभी उपसमुच्चय हैं, जिनमें केवल (A) स्वयं उचित उपसमुच्चय नहीं है। उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय नहीं आता। / The elements of (P(A)) are all subsets of (A), and only (A) itself is not a proper subset. A proper subset excludes the whole set.
किसी (6) अवयव वाले समुच्चय में सम आकार के उपसमुच्चय \(2^{6-1}=32\) होते हैं। सम और विषम आकार वाले उपसमुच्चय बराबर होते हैं। / For a (6)-element set, even-sized subsets are \(2^{6-1}=32\). Even-sized and odd-sized subsets are equal in number.
किसी सेट के लिए विषम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या का सामान्य सूत्र \(\sum_{k\ \,\text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\) है। यह बाइनोमियल प्रमेय से निकाला जा सकता है या प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके पूरक के साथ जोड़कर देखा जा सकता है — इससे विषम और सम आकार के उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है जब \(n\ge1\)। यहाँ \(n=5\) पर संख्या \(2^{5-1}=2^{4}=16\). जांच के लिये: \(\binom{5}{1}+\binom{5}{3}+\binom{5}{5}=5+10+1=16\). निकटतम विकर्षक 15 गलत है क्योंकि वहाँ तत्वों के संयोजन का सही योग नहीं लिया गया; 32 तो कुल उपसमुच्चयों की संख्या (\(2^5\)) है, और 10 किसी विशेष एक या दो आकारों का मान है, पर समुच्चय में विषम आकारों का कुल योग नहीं। परीक्षा-सुझाव: इस पहचान \(2^{n-1}\) को याद रखें — यह प्रश्नों में तेजी से काम आता है। / For a set of size \(n\), the number of odd-cardinality subsets equals \(\sum_{k\ \text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\). This follows from the binomial theorem or by pairing each subset with its complement, which shows odd and even counts are equal when \(n\ge1\). For \(n=5\) we get \(2^{5-1}=2^{4}=16\). Verifying: \(\binom{5}{1}+\binom{5}{3}+\binom{5}{5}=5+10+1=16\). Closest distractor 15 is incorrect due to a mis-summation of combination terms; 32 is the total number of all subsets (\(2^5\)), and 10 is just the count for a specific k-value, not the sum over odd k. Exam tip: memorize the identity \(\sum_{k\ \text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\) or use complement pairing to answer quickly.
(P(A)) के अवयव (A) के उपसमुच्चय होते हैं, लेकिन ({{1}}) में अवयव ({1}) है जो (A) का अवयव नहीं है। ब्रेसेस की परतें ध्यान से देखें। / Elements of (P(A)) are subsets of (A), but ({{1}}) has element ({1}), which is not an element of (A). Watch the layers of braces carefully.
(A) में दो अवयव \(\varnothing\) और ({1}) हैं, इसलिए (n(P(A))=22=4)। खाली समुच्चय भी अवयव हो सकता है। / (A) has two elements, \(\varnothing\) and ({1}), so (n(P(A))=22=4). The empty set can also be an element.
हर समुच्चय स्वयं अपने पावर सेट का अवयव होता है, इसलिए \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) शामिल है। पावर सेट में मूल समुच्चय भी आता है। / Every set is an element of its power set, so \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) is included. The original set is also in its power set.
