Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मान लें कि निश्चित 4-तत्वीय उपसमुच्चय के तत्व चुने नहीं जा सकते। शेष तत्वों की संख्या \(10-4=6\) है। प्रत्येक शेष तत्व के लिए उपसमुच्चय में शामिल करने या न करने के 2 विकल्प हैं, इसलिए ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) होगी। विकल्प 32, \(2^5\), केवल 5 उपलब्ध तत्व मानने की गलती से मिलता है। परीक्षा-युक्ति: किसी निश्चित \(k\)-तत्वीय समुच्चय से असंपृक्त \(n\)-तत्वीय समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-k}\) होती है। / The 4 elements of the fixed subset cannot be included. Thus, only the remaining \(10-4=6\) elements are available. Each of these 6 elements may either be included or excluded, giving \(2^6=64\) subsets. The value 32, or \(2^5\), results from incorrectly counting only five available elements. Exam tip: the number of subsets disjoint from a fixed \(k\)-element subset of an \(n\)-element set is \(2^{n-k}\).
पहले पूरक निकालें: \(A'=U\setminus A=\{5,6\}\), इसलिए \(n(A')=2\). किसी भी समुच्चय S के लिए पॉवर सेट का क्रम \(n(P(S))=2^{n(S)}\) होता है। अतः \(n(P(A'))=2^{n(A')}=2^2=4\). विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तब मिलेगा जब \(n(A')=3\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले कॉम्प्लीमेंट का तत्वगणना निकालें और फिर पॉवर‑सेट के लिए \(2^{n(\cdot)}\) फार्मूला लगाएँ। / Find the complement first: \(A'=U\setminus A=\{5,6\}\), so \(n(A')=2\). For any set S, the power set has \(n(P(S))=2^{n(S)}\) elements. Therefore \(n(P(A'))=2^{2}=4\). Option C (8) would be obtained only if \(n(A')\) were 3, which is not the case. Exam tip: compute the complement's size, then apply the power‑set formula \(2^{n(\cdot)}\).
(A'={1,3,5,7,9}), इसलिए ठीक (2) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{2}=10\) होंगे। पहले पूरक समुच्चय निकालें फिर संयोजन लगाएं। / (A'={1,3,5,7,9}), so the subsets with exactly (2) elements are \(\binom{5}{2}=10\). First find the complement set and then use combinations.
यदि (n(A)=m), तो (n(P(P(A)))=2^{2^m}=256=28), इसलिए \(2^m=8\) और (m=3)। घातों की तुलना सीधे करें। / If (n(A)=m), then (n(P(P(A)))=2^{2^m}=256=28), so \(2^m=8\) and (m=3). Compare powers directly.
(A'={1,3,5,7,9}) और (P(A')) में एकल समुच्चय (n(A')=5) होते हैं। एकल उपसमुच्चयों की संख्या मूल अवयवों जितनी होती है। / (A'={1,3,5,7,9}), and singleton sets in (P(A')) are (n(A')=5). The number of singleton subsets equals the number of elements.
(n(A')=5), इसलिए (n(P(A'))=25=32)। इसके उचित उपसमुच्चय \(2^{32}-1\) नहीं बल्कि (P(A')) के उपसमुच्चय हैं, अतः \(2^{32}-1\) होगा। / (n(A')=5), so (n(P(A'))=25=32). Proper subsets of (P(A')) are \(2^{32}-1\), so do not confuse elements with subsets.
किसी समुच्चय का पावर सेट उस समुच्चय को पूरी तरह निर्धारित करता है, इसलिए (A=B)। समान पावर सेट का मतलब समान मूल समुच्चय होता है। / A power set uniquely determines its original set, so (A=B). Equal power sets mean equal original sets.
(P\(\varnothing\)={\varnothing}), इसलिए (P(P(A))=P\({\varnothing}\)={\varnothing,{\varnothing}})। खाली समुच्चय का पावर सेट खाली नहीं होता। / (P\(\varnothing\)={\varnothing}), so (P(P(A))=P\({\varnothing}\)={\varnothing,{\varnothing}}). The power set of an empty set is not empty.
\(A\cup B={a,c,d}\) और (\(A\cup B\)'={b,e}), इसलिए पावर सेट में \(2^2=4\) अवयव हैं। पहले संघ निकालना सुरक्षित रहता है। / \(A\cup B={a,c,d}\) and (\(A\cup B\)'={b,e}), so the power set has \(2^2=4\) elements. Find the union first.
यदि \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{3,4,5,6\}\) हों, तो \(n(P(A'\cap B'))\) का मान क्या होगा? यहाँ \(P\) पावर समुच्चय को दर्शाता है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\)। यहाँ \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) है। इसलिए सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक \(A'\cap B'=\{7,8\}\) होगा, जिसमें 2 तत्त्व हैं। 2 तत्त्वों वाले समुच्चय के पावर समुच्चय में \(2^2=4\) तत्त्व होते हैं। अतः सही उत्तर \(4\), अर्थात् विकल्प B है। विकल्प 2 केवल \(A'\cap B'\) की तत्त्व-संख्या बताता है, पावर समुच्चय की नहीं। परीक्षा-सुझाव: पहले पूरक समुच्चय के तत्त्वों की संख्या ज्ञात करें और फिर \(n(P(S))=2^{n(S)}\) का प्रयोग करें। / By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\). Here, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\), so its complement relative to the universal set \(U\) is \(A'\cap B'=\{7,8\}\), which has 2 elements. The power set of a set with 2 elements has \(2^2=4\) elements. Therefore, the correct answer is 4, option B. Option 2 gives only the cardinality of \(A'\cap B'\), not the cardinality of its power set. Exam tip: first count the elements in the required set, then apply \(n(P(S))=2^{n(S)}\).
