Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पावर सेट का आकार किसी सेट S के लिए \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\) होता है। यहाँ \(|\mathcal{P}(A')|=1024=2^{10}\) से \(|A'|=10\)। चूँकि \(A'\) यूनिवर्सल सेट \(U\) का समपूरक है और \(|U|=18\), इसलिए \(|A|=|U|-|A'|=18-10=8\)। अतः \(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}=2^8\). निकटतम ग़लत विकल्प: \(2^{10}\) उसी \(|\mathcal{P}(A')|\) को दर्शाता है न कि \(|\mathcal{P}(A)|\)। परीक्षा टिप: 1024 को तुरंत \(2^{10}\) समझें और समपूरक का नियम \(|A|=|U|-|A'|\) लागू करें। / For any set S, the power set size is \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\). Given \(|\mathcal{P}(A')|=1024=2^{10}\), so \(|A'|=10\). Since \(A'\) is the complement in the universal set \(U\) with \(|U|=18\), we have \(|A|=|U|-|A'|=18-10=8\). Therefore \(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}=2^8\). Closest distractor \(2^{10}\) corresponds to \(|\mathcal{P}(A')|\), not \(|\mathcal{P}(A)|\). Exam tip: convert 1024 to \(2^{10}\) quickly and use \(|A|=|U|-|A'|\).
यदि सेट A में 4 सदस्य हैं तो उसकी पावर-सेट \(\mathcal{P}(A)\) में कुल उपसंग्रहों की संख्या \(2^n\) के नियम से \(2^4=16\) होगी। इस कुल में A स्वयं भी एक उपसंग्रह है; इसलिए A को हटाने पर बचते हैं \(16-1=15\)। विकल्प C (16) गलत है क्योंकि वह पूरा पावर-सेट है — A को हटाने के बाद संख्या कम हो जाएगी। विकल्प A (14) गलत है क्योंकि वह दो सदस्यों की कमी मानता है; यहाँ केवल एक ही उपसंग्रह (A) हटाया गया है। परीक्षा टिप: किसी सेट के उपसंग्रहों की गिनती के लिए हमेशा \(2^{|A|}\) याद रखें और यदि कोई उपसंग्रह हटाना हो तो उससे 1 घटा दें। / If set A has 4 elements then the power set \(\mathcal{P}(A)\) contains \(2^n\) subsets, so \(2^4=16\). Since A itself is one of those subsets, excluding A leaves \(16-1=15\). Option C (16) is incorrect because it counts the whole power set including A; option A (14) is wrong as it subtracts two instead of one. Quick exam tip: use \(2^{|A|}\) to count subsets, then subtract 1 when excluding a specific subset.
Cardinality (2) से विभाज्य होने का अर्थ even cardinality है। (6)-element set के even subsets \(2^{6-1}=32\) होते हैं। / Cardinality divisible by (2) means even cardinality. A (6)-element set has \(2^{6-1}=32\) even subsets.
बुनियादी विचार: \(\{1,2\}\) को रखना अनिवार्य है और \(5\) निष्कासित है। बचते हुए तत्व हैं \(3\) और \(4\) — ये प्रत्येक शामिल या न शामिल हो सकते हैं। इसलिए संभावनाएँ = \(2^{2}=4\)। विकल्प C (8) तब आता है जब तीन तत्वों को वैकल्पिक माना जाए (उदाहरण के लिए अगर \(5\) को भी वैकल्पिक मान लिया गया हो), जो यहाँ सही नहीं है। परीक्षा-सूत्र: आवश्यक और निषिद्ध तत्वों को अलग कर दें; शेष तत्वों की संख्या पर \(2^{n}\) लागू करें। / Core idea: \(\{1,2\}\) must be present and \(5\) is excluded. The remaining elements are 3 and 4, each may be either included or excluded, giving \(2^{2}=4\) subsets. Option C (8) would be obtained if three elements were treated as optional (for example if 5 were also allowed), which is not the case. Exam tip: fix required/excluded elements first, then count subsets of the remaining elements as \(2^{\text{(number of optional elements)}}\).
कुल subsets \(2^5=32\) हैं और (a,b) दोनों न रखने वाले \(2^3=8\) हैं। इसलिए उत्तर (32-8=24) है। / Total subsets are \(2^5=32\), and subsets containing neither (a,b) are \(2^3=8\). Therefore the answer is (32-8=24).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') और \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\) है। complement में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2^2=4\)। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)') and \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\). The complement has (2) elements, so \(2^2=4\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B={4,5}\) है। complement में (7) तत्व हैं, इसलिए \(2^7=128\)। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)') and \(A\cap B={4,5}\). The complement has (7) elements, so \(2^7=128\).
यदि किसी समुच्चय के सदस्यों की संख्या \(|A|=n\) हो तो उसके शक्ति समुच्चय की कुल संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=5\) है, इसलिए \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\)। शक्ति समुच्चय में हमेशा \(A\) और \(\varnothing\) दोनों उपस्थित रहते हैं; इन्हें निकालने पर बचते हैं \(32-2=30\) सदस्य। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(31\) तब होता यदि केवल एक ही (या केवल शून्य) निकालना हो; \(32\) वह विकल्प है जिसमें कोई निकालना नहीं हुआ। परीक्षा सुझाव: शक्ति समुच्चय के आकार का सूत्र \(2^{|A|}\) याद रखें और हटाने से पहले कुल गिनती अवश्य लें। / For any set with \(|A|=n\), the power set has \(2^n\) elements. Here \(n=5\), so \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\). The power set always contains both \(A\) and \(\varnothing\); removing them leaves \(32-2=30\) elements. The common distractor 31 would correspond to removing only one of them; 32 corresponds to removing none. Exam tip: first compute \(2^{|A|}\) then subtract the exact number of excluded subsets.
\(|A\cup B|=6\) और \(|A\cap B|=2\), इसलिए \(2^6-2^2=64-4=60\)। परीक्षा में पहले union और intersection की size निकालें। / \(|A\cup B|=6\) and \(|A\cap B|=2\), so \(2^6-2^2=64-4=60\). In exams, first find the sizes of union and intersection.
(|U|=|A|+|A'|=4+5=9), इसलिए (|\mathcal{P}(U)|=29=512)। परीक्षा में (A) और (A') मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / (|U|=|A|+|A'|=4+5=9), so (|\mathcal{P}(U)|=29=512). In exams, (A) and (A') together form the whole (U).
