Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। परीक्षा में common subsets की identity याद रखें। / (\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), so the number is \(2^4=16\). In exams, remember the identity for common subsets.
दोनों power sets में common member केवल \(\varnothing\) है। इसलिए \(2^4+2^3-1=16+8-1=23\)। / The only common member of the two power sets is \(\varnothing\). Therefore \(2^4+2^3-1=16+8-1=23\).
पहला कदम है \(A-B\) निकालना: \(A-B=\{1,7,9\}\) क्योंकि \(3\) और \(5\) दोनों \(B\) में भी हैं। यहाँ ' (प्राइम) का अर्थ है मानक यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष समपूर्ण (complement)। अतः \((A-B)'=U-\{1,7,9\}=\{2,3,4,5,6,8\}\) — इसमें कुल 6 तत्व हैं। किसी सेट का power set में उपसामूहिकों की संख्या \(2^{n}\) होती है, जहाँ \(n\) उस सेट के तत्वों की संख्या है, इसलिए \(|\mathcal{P}((A-B)')|=2^{6}=64\)। ध्यान रहे कि एक सामान्य गलतियाँ: 32 (\(2^5\)) चुनना तब होता है जब कोई एक तत्व छूट जाए; 128 (\(2^7\)) तब जब गलत तरह से अतिरिक्त तत्व जोड़ लिए जाएँ। परीक्षा-टिप: प्राइम (') हमेशा यूनिवर्सल सेट के सापेक्ष है — पहले difference, फिर complement पर स्पष्ट रहें। / Compute \(A-B\) first: \(A-B=\{1,7,9\}\) since 3 and 5 are also in \(B\). The prime (') denotes complement with respect to the universal set \(U\), so \((A-B)'=U-\{1,7,9\}=\{2,3,4,5,6,8\}\), which has 6 elements. The power set has \(2^n\) subsets for an \(n\)-element set, so \(|\mathcal{P}((A-B)')|=2^{6}=64\). Common mistake: choosing 32 (\(2^5\)) comes from miscounting elements; 128 (\(2^7\)) comes from incorrectly adding elements. Exam tip: perform set operations in the correct order and always take complements relative to the given universal set.
कम से कम (6) तत्वों वाले subsets की संख्या \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=7+1=8\) है। परीक्षा में at least का मतलब सभी बड़े sizes जोड़ना है। / The number of subsets with at least (6) elements is \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=7+1=8\). In exams, at least means adding all larger sizes.
संख्या \(\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=1+8+28=37\) है। परीक्षा में at most में (0) size वाला subset भी जोड़ें। / The number is \(\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=1+8+28=37\). In exams, include the subset of size (0) in at most.
(a,b) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं और बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2\cdot2^3=16\)। / There are (2) ways to choose exactly one of (a,b), and the remaining (3) elements are free. Hence \(2\cdot2^3=16\).
(1) fixed और (6) excluded है, इसलिए (2) तत्व ({2,3,4,5}) से चुनेंगे। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / (1) is fixed and (6) is excluded, so choose (2) elements from ({2,3,4,5}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
Disjoint subsets केवल ({3,4,5}) से बनेंगे, इसलिए \(2^3=8\) हैं। परीक्षा में disjoint condition के लिए forbidden elements हटा दें। / Disjoint subsets are formed only from ({3,4,5}), so there are \(2^3=8\). In exams, remove forbidden elements for a disjoint condition.
किसी भी सदस्य को \(A\) को उपसमुच्चय रखने के लिए वह सदस्य रूप से \(A\cup S\) होना चाहिए जहाँ \(S\subseteq U\setminus A\)। \(U\) में कुल 8 तत्व हैं और \(A\) में 3 तत्व हैं, अतः \(U\setminus A\) में 5 तत्व बचते हैं। उन 5 तत्वों का कोई भी उपसमुच्चय चुना जा सकता है, अतः संभव विकल्पों की संख्या \(2^5=32\) है। निकटतम भ्रमित विकल्प \(16\) तब आएगा जब केवल 4 अतिरिक्त तत्व माने जाएँ (\(2^4=16\)) — यह यहाँ गलत है क्योंकि वास्तव में 5 अतिरिक्त तत्व हैं। परीक्षा टिप: "किसी सेट को उपसमुच्चय रखने वाले पावर-सेट के सदस्य = 2^{|U|-|A|}" फॉर्मूले का तुरंत प्रयोग करें। / Any subset of \(U\) that contains \(A\) has the form \(A\cup S\) where \(S\subseteq U\setminus A\). Since \(|U|=8\) and \(|A|=3\), the complement \(U\setminus A\) has 5 elements. Each of those 5 elements may be either present or absent in \(S\), giving \(2^5=32\) possibilities. The closest wrong option 16 would correspond to mistakenly treating only 4 optional elements (\(2^4=16\)), which is not the case here. Exam tip: use the formula number = \(2^{|U|-|A|}\) to answer quickly.
(A'={1,3,5,7}) में (4) तत्व हैं, इसलिए उसके subsets \(2^4=16\) हैं। परीक्षा में यह (\mathcal{P}(A')) की cardinality है। / (A'={1,3,5,7}) has (4) elements, so its subsets are \(2^4=16\). In exams, this is the cardinality of (\mathcal{P}(A')).
