Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) fixed है और (U-A) के (4) तत्व optional हैं, इसलिए \(2^4=16\)। परीक्षा में containing (A) का अर्थ \(A\subseteq S\) लें। / (A) is fixed and the (4) elements of (U-A) are optional, so \(2^4=16\). In exams, containing (A) means \(A\subseteq S\).
(A') से disjoint subsets केवल (A) के subsets होंगे, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। परीक्षा में disjoint from complement का अर्थ subset of original set समझें। / Subsets disjoint from (A') are exactly subsets of (A), so the number is \(2^4=16\). In exams, understand disjoint from complement as subset of the original set.
यहां (A') में (6) तत्व हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A')|=26=64)। परीक्षा में complement हमेशा (U) के सापेक्ष निकालें। / Here (A') has (6) elements, so (|\mathcal{P}(A')|=26=64). In exams, always find complement with respect to (U).
(|\mathcal{P}(A)|=256=28), इसलिए (|A|=8) और (|A'|=8)। non-empty subsets की संख्या \(2^8-1=255\) है। / Since (|\mathcal{P}(A)|=256=28), (|A|=8) and (|A'|=8). The number of non-empty subsets is \(2^8-1=255\).
दिया है \(|\mathcal{P}(A)|=64=2^6\). सामान्य सूत्र के अनुसार \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\) है, अतः \(|A|=6\). चूँकि \(|U|=14\) और \(A\subseteq U\), इसलिए परिशिष्ट (complement) का कार्दिनेलिटी \(|A'|=14-6=8\). इस कारण \(|\mathcal{P}(A')|=2^{|A'|}=2^8\). निकटवर्ती विचलन: \(2^7\) तब गलत होगा जब कोई \(|A'|\) को 7 मान ले ले; ध्यान रखें कि परिशिष्ट का आकार = \(|U|-|A|\). परीक्षा सुझाव: पावर सेट का आकार तुरंत \(2^{|\cdot|}\) से निकालेँ — यह सबसे तेज़ रास्ता है। / Since \(|\mathcal{P}(A)|=64=2^6\) and generally \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\), we get \(|A|=6\). With \(|U|=14\) and \(A\subseteq U\), the complement has size \(|A'|=14-6=8\). Therefore \(|\mathcal{P}(A')|=2^{|A'|}=2^8\). Closest distractor \(2^7\) would be wrong only if one incorrectly computed \(|A'|=7\). Exam tip: convert power-set sizes to the element count using \( |\mathcal{P}(X)|=2^{|X|} \) then use \(|A'|=|U|-|A|\).
\(A\cap B={4,10}\), इसलिए (\(A\cap B\)') में (9) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=29=512)। / \(A\cap B={4,10}\), so (\(A\cap B\)') has (9) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=29=512).
समुच्चय (A) में (3) अलग-अलग तत्व हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=23=8)। परीक्षा में \(\varnothing\), (1), और ({1}) को अलग मानें। / The set (A) has (3) distinct elements, so (|\mathcal{P}(A)|=23=8). In exams, treat \(\varnothing\), (1), and ({1}) as different.
(a) fixed है और (b) excluded है, इसलिए बाकी (3) तत्व (5) तत्वों से चुनने होंगे। संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। / (a) is fixed and (b) is excluded, so the remaining (3) elements must be chosen from (5) elements. The number is \(\binom{5}{3}=10\).
ऐसे subsets की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। परीक्षा में fixed size subsets के लिए \(\binom{n}{r}\) लगाएं। / The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\). In exams, use \(\binom{n}{r}\) for fixed-size subsets.
\(A\cup B={1,2,3,4,5}\), इसलिए complement में (3) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cup B\)')|=23=8)। / \(A\cup B={1,2,3,4,5}\), so the complement has (3) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cup B\)')|=23=8).
