Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Singleton members ({1},{2},{3}) हैं, इसलिए संख्या (3) है। परीक्षा में \(\varnothing\) singleton नहीं होता। / The singleton members are ({1},{2},{3}), so the number is (3). In exams, \(\varnothing\) is not a singleton.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) सदस्य हैं, इसलिए उसके power set में singleton members भी (8) होंगे। परीक्षा में singleton members की संख्या base set की cardinality के बराबर होती है। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) members, so its power set has (8) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
Disjoint subsets केवल ({3,4}) से बनेंगे, इसलिए संख्या \(2^2=4\) है। परीक्षा में disjoint condition के लिए forbidden elements हटाएं। / Disjoint subsets are formed only from ({3,4}), so the number is \(2^2=4\). In exams, remove forbidden elements for a disjoint condition.
(A'={4,5,6,7}) में (4) तत्व हैं, इसलिए proper subsets \(2^4-1=15\) हैं। परीक्षा में पूरा (A') हटाना न भूलें। / (A'={4,5,6,7}) has (4) elements, so proper subsets are \(2^4-1=15\). In exams, remember to exclude the whole (A').
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में तत्वों की संख्या \(2^n\) होती है यदि A में n तत्व हों। A का पूरक A' में कुल तत्व \(|U|-n = 12-n\) होंगे, अतः \(|\mathcal{P}(A')| = 2^{12-n}\). दिया गया है \(2^n = 2^{12-n}\)। आधार समान होने पर सूचक बराबर होते हैं, इसलिए \(n = 12 - n\) और \(n = 6\)। निकटतम भ्रमित विकल्प: B (5) पर विचार करने से पता चलता है कि \(2^5=32\) जबकि \(2^{12-5}=2^7=128\), अतः वह सही नहीं है। परीक्षा-सुझाव: पूरक का आकार \(|U|-n\) और पावर-सेट का आकार \(2^{(\cdot)}\) याद रखें — समान आधार मिलने पर सीधे एक्सपोनेंट बराबर करें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements when A has n elements. The complement A' has \(|U|-n = 12-n\) elements, so \(|\mathcal{P}(A')| = 2^{12-n}\). Given \(2^n = 2^{12-n}\), with equal bases the exponents must be equal, hence \(n = 12 - n\) and \(n = 6\). Closest distractor check: option B (5) fails because \(2^5=32\) while \(2^{12-5}=2^7=128\). Exam tip: compute complement size as \(|U|-n\) first and then equate exponents when the bases are identical.
कारण: \(|\mathcal{P}(A)|=32=2^5\) से \(|A|=5\)। पूरक का आकार \(|A'|=|U|-|A|=15-5=10\) होगा। इसलिए \(|\mathcal{P}(A')|=2^{|A'|}=2^{10}\)। निकटतम भ्रामक विकल्प क्यों गलत है: विकल्प A (\(2^5\)) असल में \(\mathcal{P}(A)\) का आकार है, न कि \(\mathcal{P}(A')\)। परीक्षा-सुझाव: हमेशा याद रखें \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\) और पूरक का आकार \(|A'|=|U|-|A|\)। / Reason: since \(|\mathcal{P}(A)|=32=2^5\), we have \(|A|=5\). The complement has size \(|A'|=|U|-|A|=15-5=10\). Hence \(|\mathcal{P}(A')|=2^{|A'|}=2^{10}\). Why the closest distractor is wrong: option A (\(2^5\)) equals the size of \(\mathcal{P}(A)\), not of \(\mathcal{P}(A')\). Exam tip: use \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\) and compute complement size by \(|U|-|A|\) before applying the power-set formula.
कुल \(2^5=32\) subsets हैं और sizes (0,1,2) वाले (1+5+10=16) हैं, इसलिए उत्तर (16) है। परीक्षा में complement counting करें। / Total subsets are \(2^5=32\), and those of sizes (0,1,2) are (1+5+10=16), so the answer is (16). In exams, use complement counting.
संख्या \(\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=21+7+1=29\) है। परीक्षा में at least का अर्थ सभी बड़े sizes जोड़ना है। / The number is \(\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=21+7+1=29\). In exams, at least means adding all larger sizes.
(1) fixed है, इसलिए बाकी (2) तत्व (5) में से चुने जाएंगे: \(\binom{5}{2}=10\)। परीक्षा में compulsory element के बाद remaining choice गिनें। / (1) is fixed, so the remaining (2) elements are chosen from (5): \(\binom{5}{2}=10\). In exams, count remaining choices after fixing the compulsory element.
(1) हटाने पर (5) तत्व बचते हैं, जिनमें से (3) चुनने हैं: \(\binom{5}{3}=10\)। परीक्षा में excluded element को पहले हटा दें। / After removing (1), (5) elements remain and (3) must be chosen: \(\binom{5}{3}=10\). In exams, remove the excluded element first.
