Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Singleton members ({1},{2},{3},{4}) हैं, इसलिए संख्या (4) है। परीक्षा में \(\varnothing\) singleton नहीं होता। / The singleton members are ({1},{2},{3},{4}), so the number is (4). In exams, \(\varnothing\) is not a singleton.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) सदस्य हैं, इसलिए उसके power set में (16) singleton members होंगे। परीक्षा में singleton members की संख्या base set की cardinality होती है। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) members, so its power set has (16) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
क्योंकि \({1}\in\mathcal{P}(A)\) और \({2}\in\mathcal{P}(A)\), इसलिए दिया गया set (\mathcal{P}(A)) का subset है। परीक्षा में outer braces को ध्यान से पढ़ें। / Since \({1}\in\mathcal{P}(A)\) and \({2}\in\mathcal{P}(A)\), the given set is a subset of (\mathcal{P}(A)). In exams, read the outer braces carefully.
({1}) (A) का subset है, इसलिए \({1}\in\mathcal{P}(A)\) सत्य है। पर \({1}\subseteq\mathcal{P}(A)\) के लिए \(1\in\mathcal{P}(A)\) चाहिए, जो गलत है। / ({1}) is a subset of (A), so \({1}\in\mathcal{P}(A)\) is true. But \({1}\subseteq\mathcal{P}(A)\) would require \(1\in\mathcal{P}(A)\), which is false.
(1) से (15) तक (3) से विभाज्य (5) संख्याएं हैं, इसलिए (|A'|=10)। अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{10})। / There are (5) numbers divisible by (3) from (1) to (15), so (|A'|=10). Hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{10}).
(1) से (20) तक primes (8) हैं, इसलिए (|A'|=12)। Non-empty subsets \(2^{12}-1=4095\) हैं। / There are (8) primes from (1) to (20), so (|A'|=12). The non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\).
समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) में कुल 6 तत्व हैं। किसी भी n-तत्वीय समुच्चय का शक्ति-समुच्चय \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\) होता है, अतः \(|\mathcal{P}(A)|=2^6=64\)। विकल्प B (32) तब आता है जब गलती से तत्वों की संख्या 5 ली जाए; विकल्प D (128) तब गलत है जबा 7 तत्व गिने गए हों। परीक्षा युक्ति: पूर्णांकों के लिए सीमाओं को शामिल करके गिनें और शक्ति-समुच्चय के लिए हमेशा \(2^n\) लागू करें। / The set \(A=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) contains 6 elements. For any set with n elements, the power set has size \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\); therefore \(|\mathcal{P}(A)|=2^6=64\). Option B (32) would result from mistakenly counting 5 elements; option D (128) corresponds to counting 7 elements — both are incorrect counting errors. Exam tip: when integers are given with inequalities, count inclusive endpoints and then apply \(2^n\).
(A') में even numbers (6) हैं, इसलिए (3)-element subsets की संख्या \(\binom{6}{3}=20\) है। परीक्षा में पहले (A') की size निकालें। / (A') contains (6) even numbers, so the number of (3)-element subsets is \(\binom{6}{3}=20\). In exams, first find the size of (A').
किसी सेट A के सभी उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^n\) होती है। Proper subsets वे होते हैं जो सेट A के बराबर नहीं होते, इसलिए proper subsets की संख्या \(2^n-1\) होगी। प्रश्नानुसार \(2^n-1=31\) देता है, अतः \(2^n=32\) और \(n=5\)। नज़दीकी विकर्षकों का परीक्षण: यदि \(n=4\) होता तो \(2^4-1=15\) मिलता (गलत), और \(n=6\) पर \(2^6-1=63\) मिलता (गलत)। परीक्षा-टिप: proper subsets गिनते समय पूरे सेट को शामिल न करें — कुल उपसमुच्चय \(2^n\) में से एक घटा कर रखें। / The total number of subsets of an n-element set is \(2^n\). Proper subsets exclude the set itself, so their count is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=31\), we get \(2^n=32\) and hence \(n=5\). Checking distractors: for \(n=4\) we would have \(2^4-1=15\), and for \(n=6\) we would have \(2^6-1=63\), so those are incorrect. Quick exam tip: remember to subtract 1 from \(2^n\) when asked for proper subsets (exclude the set itself).
क्योंकि (|A'|=2m-m=m), इसलिए दोनों power sets की cardinality \(2^m\) होगी। परीक्षा में complement की size पहले निकालें। / Since (|A'|=2m-m=m), both power sets have cardinality \(2^m\). In exams, first find the size of the complement.
