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हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है इसलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\) होता है। इसे \(A\subseteq A\) से समझें। / Every set is a subset of itself so \(A\in\mathcal{P}(A)\). Understand it from \(A\subseteq A\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं इसलिए ({2}) सही है। (2) (A) का तत्व है लेकिन घात समुच्चय का तत्व नहीं। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets so ({2}) is correct. (2) is an element of (A) but not of the power set.
चार‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या का अर्थ है कि पाँच में से किन चार तत्वों को चुना जा रहा है। यह संयोजन से दिया जाता है: \(\binom{5}{4}=5\)। वैकल्पिक दृष्टिकोण: हर चार‑तत्व वाले उपसमुच्चय के लिए एक तत्व छोड़ा जाता है, इसलिए 5 अलग‑अलग तरीके हैं। निकटवर्ती विक्षेपक 10 है — यह \(\binom{5}{2}=10\) है (दो‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या) और इसलिए गलत है। परिक्षा‑टिप: यदि आप \(\binom{n}{r}\) याद नहीं रखते, तो सोचें कि चार चुनना मतलब एक छोड़ना है — चुनने के आसान तरीके गिनना उपयोगी होता है। / The number of four‑element subsets equals the number of ways to choose 4 elements from 5: \(\binom{5}{4}=5\). Equivalently, choosing 4 to include is the same as choosing 1 to exclude, so there are 5 choices. The closest distractor 10 is \(\binom{5}{2}=10\), the number of 2‑element subsets, hence incorrect. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) or think in terms of which elements you leave out to count quickly.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए वह हर घात समुच्चय में तत्व के रूप में आता है। / The empty set is a subset of every set. Therefore it appears as an element in every power set.
पहले परिशिष्ट निकालें: \(A'=U\setminus A=\{2,4,5\}\), इसमें 3 तत्व हैं। किसी समुच्चय S के पावर सेट \(\mathcal{P}(S)\) के तत्वों की संख्या हमेशा \(2^{|S|}\) होती है, अतः \(\mathcal{P}(A')\) में \(2^3=8\) तत्व होंगे। विकल्प (4) गलत है क्योंकि यह तत्वों की संख्या का आधा है; विकल्प (16) गलत है क्योंकि वह \(2^4\) का मान है — यानी किसी ने गलती से परिशिष्ट का आकार 4 मान लिया होगा। परीक्षा-टिप: पहले हमेशा परिशिष्ट \(A'\) की संख्या गिनें, फिर पावर सेट के लिए \(2^{|A'|}\) लगाएँ। / First find the complement: \(A'=U\setminus A=\{2,4,5\}\), which has 3 elements. The number of elements in the power set \(\mathcal{P}(S)\) of any set S is \(2^{|S|}\), so \(\mathcal{P}(A')\) has \(2^3=8\) elements. Option 4 is incorrect (too small); option 16 is incorrect because it equals \(2^4\), implying an incorrect complement size of 4. Exam tip: always count |A'| first, then compute \(2^{|A'|}\).
(A) में दो तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। अंदर के कोष्ठकों को देखकर तत्व गिनें। / Set (A) has two elements so its power set has \(2^2=4\) elements. Count elements carefully using brackets.
पहले (A') निकालते हैं जो ({1,4,5}) है। फिर (\mathcal{P}(A')) इसी समुच्चय के उपसमुच्चयों से बनेगा। / First find (A'), which is ({1,4,5}). Then (\mathcal{P}(A')) is made from subsets of this set.
शून्य तत्व वाला केवल \(\emptyset\) होता है। इसलिए किसी भी समुच्चय में ऐसा उपसमुच्चय एक ही होता है। / The only zero element subset is \(\emptyset\). So any set has exactly one such subset.
A. क्योंकि यह (A) का उपसमुच्चय है/because it is a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
({क,ग}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। घात समुच्चय के तत्व उपसमुच्चय होते हैं। / All elements of ({a,c}) are in (A), so it is a subset. Elements of a power set are subsets.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (4) तत्व हैं इसलिए \(2^4=16\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (4) elements so the power set has \(2^4=16\) elements.
