Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A\subseteq B\) है और (B) में (A) के अलावा कोई नया अवयव नहीं है इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। बराबरी सिद्ध करने में दोनों ओर सम्मिलन की सोच उपयोगी है। / Since \(A\subseteq B\) and (B) has no new element outside (A), both have the same elements. Thinking about inclusion from both sides helps prove equality.
तीन अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। कुल उपसमुच्चय में रिक्त समुच्चय और वही समुच्चय भी गिनें। / A set with three elements has \(2^3=8\) subsets. Count the empty set and the set itself among all subsets.
(|x-2|<2) से पूर्णांक (1,2,3) मिलते हैं और ({1,3}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव अंदर होते हैं लेकिन पूरा समुच्चय नहीं होता। / The condition (|x-2|<2) gives integers (1,2,3), and ({1,3}) lies inside it but is not equal to it. A proper subset has all elements inside but is not the whole set.
किसी n-तत्व समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों की संख्या अर्थात् power set की संख्या होती है \(2^n\)। इसलिए उचित उपसमुच्चयों (proper subsets) की संख्या \(2^n-1\) होगी। दिए गए प्रश्न में \(2^n-1=31\) से \(2^n=32\) और इसलिए \(n=5\) आता है। विकल्प C (6) गलत है क्योंकि \(2^6-1=63\) और विकल्प A (4) भी गलत है क्योंकि \(2^4-1=15\)। परीक्षा सुझाव: "उचित उपसमुच्चयों की संख्या +1 = power set की संख्या" यह सरल चेक हमेशा याद रखें। / For a set with n elements, the total number of subsets (power set) is \(2^n\), so the number of proper subsets is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=31\), we get \(2^n=32\) and hence \(n=5\). Option C (6) is incorrect because \(2^6-1=63\), and option A (4) is incorrect because \(2^4-1=15\). Exam tip: add 1 to the given number of proper subsets to get the power set size, then solve \(2^n\).
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है और ({0}) रिक्त नहीं है। \(\varnothing\) और (0) को अलग रखें। / The empty set is a subset of every set and ({0}) is not empty. Keep \(\varnothing\) and (0) different.
दोनों समुच्चय के तत्व एक जैसे हैं: \(m,a,t,h\)। समुच्चय में क्रम और दोहराव का कोई अर्थ नहीं रहता, इसलिए \(A\) और \(B\) के सभी तत्व समान होने पर \(A=B\) होगा। विकल्प (B) और (C) गलत हैं क्योंकि किसी समुच्चय में दूसरे का सख्त भाग (proper subset) होने के लिए कम से कम एक अतिरिक्त तत्व होना चाहिए — यहाँ ऐसा नहीं है। विकल्प (D) गलत है क्योंकि उनका साझा भाग खाली नहीं है। परीक्षा-Tip: जब सेट वर्णन में शब्द दिए हों तो उसे खुले-वस्तु (list) में लिखकर सभी अलग-अलग तत्व निकाल लें और फिर तुलना करें। / Both sets contain exactly the same elements \(m,a,t,h\). In set theory order and repetition do not matter, so if two sets have identical elements then \(A=B\). Options (B) and (C) are false because a proper subset relation requires one set to lack at least one element present in the other — that is not the case here. Option (D) is false because the intersection is not empty. Exam tip: convert a verbal set description into an explicit list of distinct elements and then compare the lists for equality or subset relations.
आठ से छोटे धनात्मक विषम पूर्णांक (1,3,5,7) हैं। शब्दों में दिए समुच्चय को अवयवों में लिखें। / The positive odd integers less than eight are (1,3,5,7). Write the described set in elements before comparing.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
(B) के सभी अवयव (A) में हैं लेकिन (A) में अतिरिक्त अवयव भी हैं। इसे उचित उपसमुच्चय कहते हैं। / All elements of (B) are in (A), but (A) has extra elements. This is a proper subset relation.
12 का अभाज्य गुणनखंड लिखने पर 12 = 22 × 3 मिलता है। समुच्चय में केवल अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं, इसलिए A = {2,3} होता है। अतः A और B के तत्व एक जैसे हैं और A = B सत्य है। निकटतम भ्रामक विकल्प C गलत है क्योंकि B कोई सही उपसमुच्चय (proper subset) नहीं है — B और A समान हैं। परीक्षा टिप: संख्या का अभाज्य गुणनखंड निकालते समय केवल अलग-अलग अभाज्य गुणक लेकर सेट बनाएं (गुणांक की घात को न दोहराएँ)। / Prime factorization gives 12 = 22 × 3, so the distinct prime factors are 2 and 3. A set lists distinct elements, hence A = {2,3} which equals B. Therefore A = B is correct. Closest distractor C is wrong because B is not a proper subset of A — they are equal. Exam tip: when forming a set of prime factors, include each prime once (ignore multiplicity from powers).
(B) का एकमात्र अवयव पूरा समुच्चय ({1,2}) है। उपसमुच्चय और अवयव के चिन्ह में सावधानी रखें। / The only element of (B) is the whole set ({1,2}). Be careful with subset and element symbols.
