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हर मूल तत्व से एक एक-तत्वीय उपसमुच्चय बनता है। (5) तत्वों से (5) singleton subsets बनेंगे। / Each original element forms one singleton subset. From (5) elements, there are (5) singleton subsets.
ठीक (4) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{6}{4}=15\) है। ऐसे हर उपसमुच्चय को घात समुच्चय में गिना जाता है। / The number of ways to choose exactly (4) elements is \(\binom{6}{4}=15\). Every such subset is counted in the power set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में (2) और (3) अकेले नहीं बल्कि ({2}) और ({3}) आते हैं। / A two-element set has four subsets. In the power set, (2) and (3) appear as ({2}) and ({3}), not alone.
मूल सिद्धांत: किसी सेट A के पदसमूह (power set) का तत्वों की संख्या \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) होता है। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^6=64\) और \(n(\mathcal{P}(B))=2^4=16\)। अनुपात \(64:16\) को सरल करने पर \(4:1\) मिलता है, इसलिए विकल्प B सही है। नजदीकी भ्रमजनक विकल्प A (3:2) या C (6:4) गलत हैं क्योंकि वे केवल मूल सेटों के तत्वों के अनुपात \(n(A):n(B)=6:4=3:2\) को दर्शाते हैं, न कि उनके पदसमूहों के तत्वों के अनुपात को। परīk्षा सुझाव: जल्दी समाधान के लिए हमेशा याद रखें \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\) और अनुपात को साधारणतः घटाकर लिखें। / Core concept: the cardinality of the power set is given by \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\). So \(n(\mathcal{P}(A))=2^6=64\) and \(n(\mathcal{P}(B))=2^4=16\). Their ratio is \(64:16\), which simplifies to \(4:1\); hence option B is correct. A (3:2) or C (6:4) are common distractors because they reflect the ratio of the original sets \(n(A):n(B)=6:4=3:2\), not the ratio of the sizes of the power sets. Exam tip: apply \(2^{n}\) for power sets and simplify ratios by dividing by the greatest common divisor.
पहला कदम सेट \(A\) के तत्त्वों की संख्या गिनना है। शर्त \(5<x<11\) के अनुसार \(A=\{6,7,8,9,10\}\) और इसलिए \(n(A)=5\)। किसी भी सेट के power set (\(\mathcal{P}(A)\)) में तत्त्वों की संख्या हमेशा \(2^{n(A)}\) होती है। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\)। सबसे करीबी भ्रामक विकल्प C (64) तब ही सही होता यदि \(n(A)\) = 6 माना गया हो — यह गिनती की त्रुटि है। परीक्षा-सुझाव: पहले सेट के तत्त्व सीधे लिखकर गिनें और फिर फॉर्मूला \(2^{n(A)}\) लागू करें। / First count the elements of \(A\). From \(5<x<11\) we get \(A=\{6,7,8,9,10\}\), so \(n(A)=5\). The number of elements in the power set \(\mathcal{P}(A)\) is \(2^{n(A)}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\). The closest wrong choice C (64) would correspond to mistakenly taking \(n(A)=6\). Exam tip: list elements to avoid off-by-one errors, then use \(2^{n(A)}\).
(MOON) के अलग-अलग अक्षर (M,O,N) हैं इसलिए (n(A)=3)। अतः घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। / The distinct letters of (MOON) are (M,O,N), so (n(A)=3). Therefore the power set has \(2^3=8\) elements.
समुच्चय में दोहराए गए तत्व एक बार गिने जाते हैं इसलिए \(A=\{4,5,6,7\}\)। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=24=16)। / Repeated elements are counted once in a set, so \(A=\{4,5,6,7\}\). Hence (n(\mathcal{P}(A))=24=16).
किसी समुच्चय के यदि \(n\) तत्व हों तो उसके कुल उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। यहाँ \(2^n=2048\) और \(2048=2^{11}\), अतः \(n=11\)। निकटभ्रष्ट विकल्पों का परीक्षण करने पर \(2^{10}=1024\) और \(2^{12}=4096\) आते हैं, इसलिए 10 या 12 सही नहीं हैं। परीक्षा-टिप: बड़े घातांक वाले मानों के लिए सीधे लॉग लें — \(n=\log_2 2048=11\)। / A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Here \(2^n=2048\) and since \(2048=2^{11}\), we get \(n=11\). Checking nearby powers: \(2^{10}=1024\) and \(2^{12}=4096\), so 10 or 12 are incorrect. Exam tip: use base-2 logarithm for quick calculation — \(n=\log_2 2048=11\).
2 को शामिल करना और 5 को बहिष्कृत करना निश्चित है, इसलिए शेष स्वतंत्र तत्व हैं \(\{1,3,4\}\) — तीन तत्व। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के लिए दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं), अत: कुल विकल्प \(2^3=8\)। विकल्प (16) तब आएगा जब चार स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ (गलती से 2 या 5 की शर्त न मानना)। परीक्षात्मक सुझाव: पहले निश्चित शामिल/बहिष्कृत तत्व अलग कर दें, फिर शेष स्वतंत्र तत्वों के लिए \(2^{n}\) लागू करें। / Including 2 and excluding 5 are fixed constraints, so the remaining free elements are \(\{1,3,4\}\) — three elements. Each free element can either be present or absent, giving \(2^3=8\) subsets. The distractor 16 would arise if one incorrectly treated four elements as free (i.e., ignored a fixed inclusion/exclusion). Exam tip: fix the required inclusions/exclusions first, then count subsets of the remaining elements as \(2^{\text{number of free elements}}\).
"कम से कम 5" का अर्थ है 5 या 6 तत्व। 6-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{6}{5}=6\) और 6-तत्त्व वाला पूरा सेट की संख्या \(\binom{6}{6}=1\) है। अतः कुल उपसमुच्चय \(\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=6+1=7\) हैं। विकल्प A (6) केवल उन उपसमुच्चयों की गिनती देता है जिनमें ठीक 5 तत्व हैं और पूरा सेट शामिल नहीं है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सूत्र: "कम से कम k" को अक्सर "ठीक k, ठीक k+1, ..." के रूप में जोड़कर या पूरक गिनकर तेज़ी से हल करें। / "At least 5" means subsets with 5 or 6 elements. Number with 5 elements is \(\binom{6}{5}=6\) and with 6 elements is \(\binom{6}{6}=1\). So total is \(\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=6+1=7\). Option A (6) counts only the 5-element subsets and omits the whole set, so it is incorrect. Exam tip: sum the binomial counts for the required sizes or use complement counting when convenient.
