Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(m\in A\) और \(n\in A\)/\(m\in A\) and \(n\in A\)
Explanation
Simple Explanation
\({m,n}\in \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है \({m,n}\subseteq A\)। इसलिए (m) और (n) दोनों (A) के तत्व होंगे। / \({m,n}\in \mathcal{P}(A)\) means \({m,n}\subseteq A\). Therefore both (m) and (n) are elements of (A).
दिए गए तीनों विकल्प (A) के उपसमुच्चय हैं। इसलिए ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / All three given options are subsets of (A). Therefore all of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
\(\varnothing\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। इसलिए \(\varnothing\) हमेशा (\mathcal{P}(A)) का तत्व होगा। / \(\varnothing\) is a subset of every set. Therefore \(\varnothing\) is always an element of (\mathcal{P}(A)).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। \(\varnothing\) और (A) को हटाने पर (14) अरिक्त उचित उपसमुच्चय बचते हैं। / Total subsets are \(2^4=16\). Removing \(\varnothing\) and (A) leaves (14) non-empty proper subsets.
ठीक (2) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। हर चयन घात समुच्चय का एक तत्व बनता है। / The number of ways to choose exactly (2) elements is \(\binom{5}{2}=10\). Each choice becomes an element of the power set.
एक तत्व को रखना तय है और बाकी (6) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) होगी। / One element is fixed to be included and the remaining (6) elements are free. So the number of subsets is \(2^6=64\).
दो निर्दिष्ट तत्वों को उपसमुच्चयों में शामिल नहीं करने का मतलब है कि हम उन दोनों को हटा कर शेष तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या गिनें। A के कुल 5 तत्व हैं; दो हटाने पर बचे 3 तत्व होंगे, जिनके सभी उपसमुच्चयों की संख्या है \(2^3=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। गलत विकल्पों पर टिप्पणी: विकल्प A (4) तब ग़लत होगा जब केवल 2 तत्व शेष मान लिए जाएँ — यहाँ 3 तत्व शेष हैं, इसलिए 4 सही नहीं। परीक्षा-सूत्र: किसी सेट के n तत्वों के सभी उपसमुच्चय की संख्या \(2^n\) से दी जाती है; किसी विशिष्ट तत्व को “नहीं रखना” मतलब उसे हटाकर शेष पर \(2^{\text{शेष}}\,\) गिनना। / Not containing the two specified elements means exclude those two and count subsets of the remaining elements. From 5 elements, removing the two leaves 3 elements, whose subsets number is \(2^3=8\). Thus 8 is correct. Note on distractors: option A (4) would correspond to mistakenly assuming only 2 elements remain (giving \(2^2=4\)), so it is incorrect here. Exam tip: remember that a set with n elements has \(2^n\) subsets; when certain elements are forbidden, subtract them first and apply \(2^{\text{remaining}}\).
रिक्त समुच्चय का एकमात्र उपसमुच्चय वही रिक्त समुच्चय है। इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing})। / The only subset of the empty set is the empty set itself. Therefore (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}).
यदि दो समुच्चय समान हैं (यहाँ A = U), तो उनका हर उपसमुच्चय भी समान होगा। इसलिए दोनों के उपसमुच्चयों का समूह, यानी उनका घातसमुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(U)\), भी बराबर होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी समुच्चय का घातसमुच्चय कभी शून्य समुच्चय नहीं होता; यहाँ तक कि शून्य समुच्चय के लिए भी \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\) होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(\mathcal{P}(U)\) के तत्त्व U के उपसमुच्चय होते हैं, U के तत्व नहीं—इसलिए वे सामान्यतः A के तत्व नहीं होते ताकि समावेशन \(\subset\) सही रहे। विकल्प D गलत है क्योंकि समान घातसमुच्चय का परस्पर छेद्य वही घातसमुच्चय होगा, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: सेट-सम्बन्धों में स्पष्ट करें कि घातसमुच्चय के तत्त्व उपसमुच्चय होते हैं, तत्व नहीं; और याद रखें कि \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\)। / If two sets are equal (here A = U), they have exactly the same subsets. Hence their power sets are equal: \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(U)\). Option B is false because a power set is never empty; even \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\). Option C is incorrect because elements of \(\mathcal{P}(U)\) are subsets of U, not elements of U, so inclusion \(\mathcal{P}(U)\subset A\) generally does not hold. Option D is false because the intersection of identical power sets is the same power set, not the empty set. Exam tip: distinguish between 'element of a set' and 'subset of a set' and remember the identity: A = B implies \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। केवल \(\varnothing\) रिक्त है इसलिए अरिक्त उपसमुच्चय (15) होंगे। / Total subsets are \(2^4=16\). Only \(\varnothing\) is empty so there are (15) non-empty subsets.
