Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला कदम है समूहनिर्दिष्ट परिप्रेक्ष्य में पूरक निकालना: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\) इसलिए \(n(A')=4\)। किसी सेट के पावर सेट में उसके सभी संभव उपसमूह होते हैं और उनकी संख्या \(2^{n(\text{set})}\) से दी जाती है। अतः \(n(\mathcal{P}(A'))=2^{4}=16\)। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प \(8\) ऐसा मानने पर आता है कि कोई छात्र गलती से \(n(A')=3\) मान ले जिससे \(2^3=8\) निकले — यह गलत है क्योंकि वास्तविक \(A'\) में 4 तत्व हैं। परिक्षा-सुझाव: पहले पूरक के तत्व गिनें, फिर तुरंत \(2^{n}\) का प्रयोग करें; इस क्रम का उल्टा न करें। / First find the complement relative to the universal set: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\), so \(n(A')=4\). The number of subsets (power set size) of a set with \(n\) elements is \(2^{n}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A'))=2^{4}=16\). The closest wrong choice, 8, would result from mistakenly taking \(n(A')=3\) and computing \(2^3\); 4 would be wrong if one confuses the set size with the power set size. Exam tip: always count elements of the complement first, then apply \(2^{n}\).
पावर सेट का नियम है कि यदि किसी समुच्चय \(A\) में \(n\) तत्व हैं तो उसकी पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। यहाँ दिया है \(n(\mathcal{P}(A))=512\)। चूँकि \(512=2^9\), इसलिए \(n(A)=9\)। नज़दीकी भ्रामक विकल्पों की जाँच: यदि \(n(A)=8\) होता तो \(2^8=256\) और यदि \(n(A)=10\) होता तो \(2^{10}=1024\) — दोनों 512 नहीं देते। परीक्षा टिप: शक्तियों के मान \(2^5, 2^6, …, 2^{10}\) याद रखें ताकि ऐसे प्रश्न तेज़ी से हल हो सकें। / The power-set rule states that if a set \(A\) has \(n\) elements then \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) subsets. Given \(n(\mathcal{P}(A))=512\) and since \(512=2^9\), we conclude \(n(A)=9\). Checking nearby distractors: for \(n(A)=8\), \(2^8=256\); for \(n(A)=10\), \(2^{10}=1024\) — neither equals 512. Exam tip: memorize powers of 2 \(e.g. 2^5…2^{10}\) to answer such questions quickly.
किसी समुच्चय के कुल उपसमुच्चय की संख्या 2^n होती है जहाँ n तत्वों की संख्या है. यहाँ 2^n = 1024, इसलिए n = 10. किसी समुच्चय के उचित उपसमुच्चयों में पूरा समुच्चय शामिल नहीं होता, अतः उनकी संख्या कुल उपसमुच्चयों में से 1 घटाकर मिलेगी: 1024 − 1 = 1023. विकल्प 1024 गलत है क्योंकि वह पूरा समुच्चय भी गिनता है; 512 गलत है क्योंकि वह 29 है; 10 स्पष्टतः असंगत है। परीक्षा टिप: पहले 2^n = 1024 से n निकालें (यहाँ n=10), फिर उचित उपसमुच्चय = 2^n − 1 करें। / The number of all subsets of a set with n elements is 2^n. Given 2^n = 1024, we get n = 10. A proper subset excludes the set itself, so the count is total subsets minus one: 1024 − 1 = 1023. Option 1024 is incorrect because it counts the whole set as well; 512 corresponds to 29 and is therefore wrong; 10 is not relevant. Exam tip: identify n by recognizing 1024 = 210 (or use log2), then compute proper subsets as 2^n − 1.
घात समुच्चय का प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({r,t}) में केवल (A) के तत्व हैं इसलिए यह सही है। / Every element of a power set is a subset of the original set. ({r,t}) contains only elements of (A) so it is correct.
(1) स्वयं (A) का तत्व नहीं है बल्कि ({1}) तत्व है। इसलिए ({0,1}), (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (1) itself is not an element of (A); ({1}) is an element. So ({0,1}) is not a subset of (A).
(A) में दो अलग-अलग तत्व हैं इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) को अलग समझें। / Set (A) has two distinct elements so its power set has \(2^2=4\) elements. Treat \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) as different.
यदि किसी समुच्चय A में n तत्व हों तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहाँ A = \(\{a\}\) के लिए n = 1, अतः \(\mathcal{P}(\{a\})\) में \(2^1 = 2\) तत्व होंगे। अब उन 2 तत्वों का घात समुच्चय \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))\) में कुल \(2^2 = 4\) तत्व होंगे। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तब मिलता अगर शुरूआती समुच्चय में 3 तत्व होते (\(2^{2^3}=256\) नहीं—यहां चरणबद्ध गिनती लागू करें)। परीक्षा युक्ति: पहले मूल समुच्चय के तत्व गिनें (n), फिर सामान्य सूत्र \(\lvert\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))\rvert=2^{2^n}\) या चरण-दर-चरण \(2^n\) और फिर \(2^{(2^n)}\) के बजाय छोटे मामलों में सीधे \(2^{2^n}\) से गणना करें। / If a set A has n elements then its power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements. Here A = \(\{a\}) so n = 1, therefore \(\mathcal{P}(\{a\})\) has \(2^1 = 2\) elements. The power set of that set, \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))\), therefore has \(2^2 = 4\) elements. Hence 4 is correct. Option C (8) is incorrect — that would correspond to a different starting size; do the counting stepwise rather than guessing. Exam tip: use the general formula \(\lvert\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))\rvert = 2^{2^n}\) for a set of size n, or compute \(2^n\) first and then take the power set of that result for small n.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cap B\)'=A'\cup B')। प्रतिच्छेद के पूरक में कम से कम एक समुच्चय से बाहर वाले तत्व आते हैं। / By De Morgan's law, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'). The complement of an intersection includes elements outside at least one set.
24 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — कुल 8 तत्व। इसलिए \(n(A)=8\)। किसी समुच्चय का शक्ति-समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में तत्वों की संख्या \(2^{n(A)}\) होती है, अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^8=256\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प 128 है — वह तब होता यदि तत्व केवल 7 होते (\(2^7\)) यानी एक भाजक छूट गया हो। परीक्षा-सुझाव: भाजकों की संख्या तेज़ी से पाने के लिए 24 का गुणनकर्ता रूप लिखें \(24=2^3\times3^1\) और divisors की संख्या \((3+1)(1+1)=8\) लागू करें। / The positive divisors of 24 are 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — a total of 8 elements, so \(n(A)=8\). The power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^{n(A)}\) elements, hence \(n(\mathcal{P}(A))=2^8=256\). The closest distractor 128 would correspond to \(2^7\), i.e. missing one divisor. Exam tip: use prime factorization \(24=2^3\times3^1\) and the divisor-count formula \((3+1)(1+1)=8\) to get the number of divisors quickly.
एकल समुच्चय के उपसमुच्चय \(\varnothing\) और वही समुच्चय होते हैं। इसलिए घात समुच्चय में ({k}) आएगा, केवल (k) नहीं। / The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So the power set contains ({k}), not just (k).
