Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी समुच्चय में कुल उपसमुच्चयों की संख्या अगर उसके तत्वों की संख्या n हो तो वह \,\(2^n\) होती है। यहाँ \(2^n=256\)। क्योंकि \(256=2^8\), इसलिए \(n=8\)। निकट के भ्रामक विकल्पों में से \(7\) के लिए \(2^7=128\) और \(9\) के लिए \(2^9=512\) होंगे, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: याद रखें कि उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \(2^n\) होती है और प्रमुख गुणांकों (powers of 2) से मिलान करके जल्दी उत्तर मिल जाता है। / If a set has n elements, the total number of subsets is given by \(2^n\). Here \(2^n=256\). Since \(256=2^8\), we get \(n=8\). Close distractors fail because \(2^7=128\) and \(2^9=512\), so 7 and 9 are incorrect. Exam tip: use the formula \(2^n\) and recognize powers of 2 (128, 256, 512...) to answer quickly.
यदि \(A\subseteq B\) है, तो (B) के बाहर के तत्व (A) के बाहर भी होंगे। इसलिए \(B'\subseteq A'\) होता है। / If \(A\subseteq B\), then every element outside (B) is also outside (A). Hence \(B'\subseteq A'\).
A के तत्व स्पष्ट रूप से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=5\)। किसी भी सेट के पावर सेट की संख्यात्मक प्राप्ति के नियम के अनुसार \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\)। विकल्प B (16) गलत है क्योंकि वह \(2^4\) होगा — यानी यदि किसी ने सेट में 4 तत्व गिने होते। विकल्प D (64) तब गलत है जब किसी ने ग़लत तरीके से 6 तत्व मान लिए (\(2^6\))। परीक्षा संकेत: तत्वों की संख्या तर्कसंगत तरीके से गिनें — पूर्णांक के लिए अंत-बिंदु गुणा नियम का प्रयोग करें (उपरि - निचली + 1)। / The elements of A are clearly \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), so \(n(A)=5\). The cardinality of a power set is given by \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\). Option B (16) would correspond to \(2^4\), i.e. miscounting A as having 4 elements; option D (64) corresponds to \(2^6\), i.e. miscounting 6 elements. Quick exam tip: for integer ranges use (upper − lower + 1) to find the number of elements, then compute \(2^n\).
यहाँ 1 को शामिल करना और 4 को बाहर रखना निश्चित है। शेष दो तत्व 2 और 3 के लिए प्रत्येक के दो-दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं): कुल विकल्प = \(2^2=4\)। इसलिए उत्तर 4 है। विकल्प 8 इसलिए गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र निर्णय मानकर \(2^3=8\) गिनता है (अर्थात् 4 को स्वतंत्र मानना) — जो यहाँ लागू नहीं है। परीक्षा टिप: पहले फिक्स किए गए तत्व तय कर लें, फिर शेष मुक्त तत्वों पर \(2^{\text{#free elements}}\) लागू करें। / Include 1 and exclude 4 are fixed choices. The remaining elements 2 and 3 are free, each can be either present or absent, giving \(2^2=4\) possible subsets. Thus the correct count is 4. Option 8 is a common mistake (it counts \(2^3\), treating 4 as free). Exam tip: fix required/included or excluded elements first, then use \(2^{\text{number of remaining elements}}\) to count subsets.
कम से कम (4) तत्व का अर्थ (4) या (5) तत्व है। संख्या \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\) है। / At least (4) elements means (4) or (5) elements. The number is \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\).
(2) और (5) को रखना निश्चित है, बाकी (4) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए उपसमुच्चय \(2^4=16\) होंगे। / Keeping (2) and (5) is fixed, and the remaining (4) elements are free. Therefore the number of subsets is \(2^4=16\).
यदि हम 1 और 2 को हटाते हैं तो बचते हैं {3,4,5} — कुल 3 तत्व। किसी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या =
\(2^{\text{(तत्त्वों की संख्या)}}\) इसलिए यहाँ \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। 16 (\(2^4\)) वाला विकल्प आम गलती है जब कोई एक ही तत्व हटाने या तत्वों की गिनती गलत कर लेता है। 4 (\(2^2\)) और 32 (\(2^5\)) भी गलत हैं — क्रमशः तभी मिलेंगे जब बचते हुए तत्त्व 2 या 5 माने जाएँ। परीक्षा सजेशन: पहले बचने वाले तत्वों की संख्या गिनें, फिर सीधे \(2^n\) लागू करें। / Removing 1 and 2 leaves {3,4,5}, which has 3 elements. Number of subsets = \(2^{\text{number of elements}}\), so \(2^3=8\). The option 16 (\(2^4\)) is a common mistake from miscounting elements (treating 4 remaining elements). Options 4 (\(2^2\)) and 32 (\(2^5\)) correspond to mistakenly using 2 or 5 elements respectively. Exam tip: always count the remaining elements after restrictions, then use \(2^n\).
(\mathcal{P}(A)) में कुल (8) उपसमुच्चय हैं। उचित उपसमुच्चय के लिए केवल (A) को हटाते हैं, इसलिए (7) बचते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has (8) total subsets. For proper subsets, only (A) itself is removed, so (7) remain.
\(A\cup B={1,2,3,4}\), इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। अतः उसके घात समुच्चय में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / \(A\cup B={1,2,3,4}\), so it has (4) elements. Therefore its power set has \(2^4=16\) elements.
(A) में (4) तत्व हैं इसलिए (\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। परीक्षा में पहले मूल समुच्चय के अलग-अलग तत्व गिनें। / Set (A) has (4) elements so (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) elements. In exams first count the distinct elements of the original set.
