Practice focused topic-wise MCQs with answers and explanations for quick revision and exam preparation.
Difficulty select karke sirf is topic ke focused MCQs practice karein. Score, timer aur explanations student-friendly flow me milenge.
Showing 211-220 of 682 questions.
If \(A\subseteq U\) and (A'=U), what is (A)?
B. \(\varnothing\)
यदि (A) का पूरक पूरा (U) है, तो (A) में कोई तत्व नहीं हो सकता। इसलिए \(A=\varnothing\) है। / If the complement of (A) is the whole (U), then (A) cannot contain any element. Hence \(A=\varnothing\).
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If \(A={x:x\) is a positive divisor of (18)(}), what is (n(\mathcal{P}(A)))?
C. (64)
(18) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं, इसलिए (n(A)=6)। अतः (n(\mathcal{P}(A))=26=64)। / The positive divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18), so (n(A)=6). Hence (n(\mathcal{P}(A))=26=64).
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If \(A=\{5\}\), what is (\mathcal{P}(A))?
D. \({\varnothing,{5}}\)
एकल समुच्चय के उपसमुच्चय \(\varnothing\) और वही समुच्चय होते हैं। इसलिए (5) नहीं, बल्कि ({5}) घात समुच्चय का तत्व है। / The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So ({5}), not (5), is an element of the power set.
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If \( \{7\} \in \mathcal{P}(A) \), which statement is definitely true?
A. \(7 \in A\)
\(\{7\} \in \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है कि \(\{7\}\subseteq A\)। यदि एक एकल तत्वों वाला सेट \(\{7\}\) \(A\) का उपसैट है, तो इसका मतलब है कि 7, \(A\) का सदस्य है, यानी \(7\in A\)। विकल्प B (\(\{7\}\in A\)) का अर्थ यह होगा कि \(A\) का एक तत्व स्वयं सेट \(\{7\}\) है — यह आवश्यक नहीं है। विकल्प C (\(A=\{7\}\)) बहुत अधिक कड़ा है — \(A\) में और भी तत्व हो सकते हैं। विकल्प D स्पष्ट रूप से विरोधाभासी है। परीक्षा युक्ति: पक्का करें कि आप 'तत्व' (\(\in\)) और 'उपसैट' (\(\subseteq\)) के बीच फर्क याद रखें; \(X\in\mathcal{P}(A)\) का अर्थ होता है \(X\subseteq A\)। / \(\{7\} \in \mathcal{P}(A)\) means \(\{7\}\subseteq A\). If the singleton \(\{7\}\) is a subset of \(A\), then the element 7 belongs to \(A\); hence \(7\in A\) is definitely true. Option B (\(\{7\}\in A\)) would mean the set \(\{7\}\) is itself an element of \(A\), which is not implied. Option C (\(A=\{7\}\)) is stronger — it claims no other elements are in \(A\). Option D contradicts the conclusion. Exam tip: clearly distinguish '\(x \in A\)' (element) from '{x} \subseteq A' (singleton subset); membership in the power set means subset, not element-of-A unless explicitly stated.
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If \(A={\varnothing,1}\), which of the following is an element of (\mathcal{P}(A))?
D. उपरोक्त सभीAll of these
\(\varnothing\), \({\varnothing}\), और ({1}) सभी (A) के उपसमुच्चय हैं। इसलिए ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / \(\varnothing\), \({\varnothing}\), and ({1}) are all subsets of (A). Therefore all of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
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For any set (A), which two elements are always present in (\mathcal{P}(A))?
B. \(\varnothing\) और (A)\(\varnothing\) and (A)
हर समुच्चय का रिक्त समुच्चय और स्वयं वह समुच्चय उपसमुच्चय होते हैं। इसलिए दोनों हमेशा उसके घात समुच्चय में होते हैं। / The empty set and the set itself are subsets of every set. Therefore both are always in its power set.
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If (A) has (3) elements, how many non-empty proper subsets of (A) are there?
B. (6)
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। अरिक्त उचित उपसमुच्चयों के लिए \(\varnothing\) और (A) हटाने पर (6) बचते हैं। / Total subsets are \(2^3=8\). Removing \(\varnothing\) and (A) gives (6) non-empty proper subsets.
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If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many elements of (\mathcal{P}(A)) have exactly (2) elements?
C. (6)
ठीक (2) तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) होती है। घात समुच्चय के अंदर उपसमुच्चयों को उनके आकार से भी गिना जा सकता है। / The number of subsets with exactly (2) elements is \(\binom{4}{2}=6\). Inside a power set, subsets can also be counted by their size.
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If (A) has (5) elements, how many subsets of (A) will contain one fixed element?
C. (16)
एक निश्चित तत्व रखने के बाद बाकी (4) तत्व चुने या छोड़े जा सकते हैं। इसलिए संख्या \(2^4=16\) होगी। / After fixing one element, each of the remaining (4) elements may be chosen or not chosen. So the number is \(2^4=16\).
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If A has 6 elements, how many subsets of A do not contain a particular chosen element?
B. 32
यदि किसी विशेष तत्व को शामिल न किया जाए तो बचे हुए तत्वों की संख्या 6−1=5 है। किसी सेट के n तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, अतः यहाँ उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^5=32\\) होगी। वैकल्पिक तर्क: कुल उपसमुच्चय \\(2^6=64\\) हैं और किसी दिए हुए तत्व को शामिल करने/नकरने के दो विकल्प होते हैं, इसलिए आधे यानी \\(2^5\\) ऐसे उपसमुच्चय होंगे जो उसे नहीं रखते। गलत विकल्पों का कारण: 64 कुल उपसमुच्चय हैं (इसलिए गलत), 63 गैर-खाली सभी उपसमुच्चयों का संख्या है (\(2^6-1\)), और 16 \(2^4\) होगा यदि सिर्फ 4 तत्व बचे होते — इसलिए वे भ्रामक हैं। परीक्षा-सुझाव: इस प्रकार के प्रश्नों के लिए सीधे सूत्र \(2^{n-1}\) याद रखें या पूरक गिनती (half of \(2^n\)) का प्रयोग करें। / If the particular element is excluded, 6−1=5 elements remain. A set with n elements has \(2^n\) subsets, so here the number is \(2^5=32\). Alternatively, of the total \(2^6=64\) subsets, exactly half will not contain the chosen element, giving \(2^5\). Why other options are wrong: 64 is the total number of subsets, 63 equals the number of non-empty subsets (\(2^6-1\)), and 16 equals \(2^4\) which would be the count if only 4 elements remained. Exam tip: use the formula \(2^{n-1}\) for “subsets not containing a given element” or reason by splitting presence/absence of that element.
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