Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सेट \(A\) के विषम तत्व 1 और 3 हैं। इसलिए विषम एकल उपसमुच्चय \(\{1\}\) और \(\{3\}\) होंगे — कुल 2। निकटतम भ्रामक विकल्प C (3) गलत है क्योंकि वह किसी अतिरिक्त तत्व को गिनता है जो सेट में मौजूद नहीं है। परीक्षा टिप: किसी गुण (जैसे 'विषम') के आधार पर एकल उपसमुच्चयों की संख्या सीधे उस गुण वाले तत्त्वों की संख्या के बराबर होती है। / The odd elements of \(A\) are 1 and 3, so the singleton subsets are \(\{1\}\) and \(\{3\}\), giving a total of 2. The closest distractor C (3) is incorrect because it counts an extra element not present in the set. Exam tip: The number of singleton subsets with a given property equals the number of elements in the set that satisfy that property.
यदि \(x\) को रखना निश्चित है तो बचे हुए दो तत्त्व \(y\) और \(z\) के लिए प्रत्येक के पास दो‑दो विकल्प हैं: शामिल या नहीं। इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\) है। विकल्प (8) गलत है क्योंकि वह \(A\) के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) है, न कि केवल वे जिनमें \(x\) है। विकल्प (3) तब गलत होगा जब कोई \(x\), \(x,y\), \(x,z\) को मात्र गिन लें और \(x,y,z\) को भूल जाएँ। परीक्षा सुझाव: सामान्य सूत्र याद रखें — किसी n तत्त्वों वाले समुच्चय में किसी निश्चित तत्त्व को रखने वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। / Fixing \(x\) means each of the remaining elements \(y\) and \(z\) can either be present or absent, so there are \(2^2=4\) subsets containing \(x\). Option (8) is the total number of subsets of \(A\) (\(2^3=8\)) and thus not restricted to those that contain \(x\). Option (3) misses the case where both \(y\) and \(z\) are included. Exam tip: use the formula — for a set of size \(n\), the number of subsets that contain a given element is \(2^{n-1}\).
किसी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या सामान्यतः \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=3\) इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। इनमें से एक उपसमुच्चय खाली (empty) है, अत: खाली नहीं उपसमुच्चय = \(8-1=7\)। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह खाली उपसमुच्चय को भी गिनता है; विकल्प A (6) एक उपसमुच्चय कम गिन रहा है; विकल्प D (9) असंभव है क्योंकि यह \(2^n\) से बड़ा है। परीक्षा-सूत्र: किसी सेट के गैर-खाली उपसमुच्चयों के लिए हमेशा \(2^n-1\) प्रयोग करें। / The number of subsets of an n-element set is given by \(2^n\). Here \(n=3\), so total subsets are \(2^3=8\). One of these is the empty subset, so the number of non-empty subsets is \(8-1=7\). Choice C (8) is incorrect because it includes the empty set; A (6) undercounts by one; D (9) exceeds the total possible subsets. Exam tip: use the formula \(\text{non-empty subsets}=2^n-1\).
ऐसे उपसमुच्चय जिनमें a नहीं है, वे सब {b, c} के उपसमुच्चय होते हैं। प्रत्येक तत्व (b और c) के लिए दो विकल्प हैं — शामिल करना या न करना — इसलिए कुल संख्या \(2^2=4\) है। अक्सर त्रुटि यह होती है कि केवल खाली समुच्चय और एकल तत्व गिने जाते हैं (जिससे 2 आता है) — यह गलत है क्योंकि {b,c} (दो तत्वों वाला) भी एक वैध उपसमुच्चय है। परीक्शा सुझाव: किसी तत्व को बाहर मानकर बाकी तत्वों के लिए शामिल/न-शामिल विकल्पों को गुणा करें। / Subsets that do not contain a are exactly the subsets of {b,c}. Each of b and c has two choices (include or exclude), so the total is \(2^2=4\). A common mistake is to count only the empty set and one singleton (giving 2), but the two-element subset {b,c} must also be counted. Exam tip: fix excluded elements first, then use the 2-choice rule for each remaining element and multiply.
कम से कम तीन तत्व वाले उपसमुच्चय में या तो तीन तत्व होते हैं या चार। तीन-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{3}=4\) है और चार-तत्व वाले उपसमुच्चय की संख्या \(\binom{4}{4}=1\) है। अतः कुल = \(4+1=5\)। विकल्प A (4) केवल तीन-तत्व वाले उपसमुच्चयों की गिनती है और चार-तत्व वाले उपसमुच्चय को शामिल नहीं करता — इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: "कम से कम k" मतलब सम करें \(\sum_{r=k}^{n}\binom{n}{r}\)। / Subsets with at least three elements can have either three or four elements. Number of 3-element subsets is \(\binom{4}{3}=4\) and number of 4-element subsets is \(\binom{4}{4}=1\). Therefore total = \(4+1=5\). Option A (4) counts only the 3-element subsets and misses the single 4-element subset, so it is incorrect. Exam tip: For "at least k" choose sums, use \(\sum_{r=k}^{n}\binom{n}{r}\).
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में किसी सेट \(A\) के सभी उपसमुच्चयों की संख्या होती है और यह \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) = \(|A|\)। दिए अनुसार \(2^n=8\) से \(n=3\)। कुल उपसमुच्चय 8 हैं; इनमें से खाली उपसमुच्चय एक ही होता है, अतः खाली नहीं उपसमुच्चयों की संख्या \(8-1=7\) है। निकटवर्ती विकल्पों का भेद: विकल्प A (3) केवल सेट के तत्वों की संख्या बताता है, विकल्प D (8) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है, और विकल्प B (6) गलत घटाव पर आधारित है। परीक्षा सुझाव: तुरंत सोचें \(2^n\) से \(n\) निकालें और खाली उपसमुच्चय एक घटाएँ। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements where \(n=|A|\). Given \(2^n=8\), so \(n=3\). Thus there are 8 total subsets and exactly one of them is the empty set, so the number of non-empty subsets is \(8-1=7\). Why other choices are wrong: option A (3) confuses the number of elements of \(A\) with the number of non-empty subsets; option D (8) is the total number of subsets including the empty set; option B (6) has no correct basis here. Exam tip: use \(2^n\) to find \(n\) and then subtract 1 to exclude the empty set.
पहला कदम पूरक निकालना है: \(A'=U\setminus A=\{3\}\). उसके बाद पावर सेट में \(A'\) के सभी सबसेट आते हैं। \(\mathcal{P}(A')\) में खाली समुच्चय और \(A'\) स्वयं सबसेट के रूप में होंगे, अर्थात् \(\{\emptyset,\{3\}\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि इसमें \(3\) को एक तत्व के रूप में दिखाया गया है जबकि पावर सेट में उस तत्व का सबसेट \(\{3\}\) होना चाहिए। विकल्प C वास्तव में \(\mathcal{P}(A)\) का हिस्सा है, और विकल्प D यूनिवर्सल सेट है — ये दोनों गलत निदेशित उत्तर हैं। परीक्षा टिप: पहले पूरक निकालें, फिर पावर सेट लें; पावर सेट के तत्व स्वयं सबसेट होते हैं (नाम मात्र के तत्व नहीं)। / First compute the complement: \(A'=U\setminus A=\{3\}\). The power set contains all subsets of \(A'\), so \(\mathcal{P}(A')\) is the set of subsets of \(\{3\}\), namely \(\{\emptyset,\{3\}\}\). Option B is incorrect because it lists \(3\) instead of the subset \(\{3\}\). Option C lists \(\{\{1\},\{2\}\}\), which corresponds to subsets of \(A\) (not \(A'\)), and option D is the universal set \(U\). Exam tip: always form the complement first, then list its subsets — remember elements of a power set are subsets, so use \(\{3\}\) not \(3\).
(A) में (5) तत्व हैं, इसलिए घात समुच्चय में \(2^5=32\) तत्व होंगे। परीक्षा में पहले मूल समुच्चय के तत्व गिनें। / Set (A) has (5) elements, so its power set has \(2^5=32\) elements. In exams, first count the elements of the original set.
(3) को रखना निश्चित है और बाकी (1,5) चुने या छोड़े जा सकते हैं। इसलिए संख्या \(2^2=4\) होगी। / Keeping (3) is fixed and the remaining (1,5) may be chosen or not chosen. So the number is \(2^2=4\).
(A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए (1,4,6,8) सही पूरक हैं। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Therefore (1,4,6,8) form the correct complement.
