Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
({1}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। एकल तत्व और एकल समुच्चय में अंतर रखें। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Keep a single element and a singleton set distinct.
घात समुच्चय (power set) का मूल सिद्धांत यह है कि यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों तो उसका घात समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहाँ \(A\) में तीन अलग-अलग तत्व हैं इसलिए \(n(A)=3\)। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^{3}=8\)। विकल्प (6) इसलिए गलत है क्योंकि वह किसी सामान्य गणितीय नियम (जैसे permutations या combinations) से गलत तरीके से जोड़ा जा सकता है — पर घात समुच्चय के लिए हमेशा \(2^n\) ही प्रयोग होगा। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा \(n(A)\) पहचानें फिर तुरंत \(2^{n(A)}\) लगाएँ। / The power set of a set with \(n\) elements contains \(2^n\) subsets. Here the set \(A\) has three distinct elements, so \(n(A)=3\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A))=2^{3}=8\). Option 6 is a plausible distractor but incorrect — it might arise from confusing with permutations/combinations, but the correct formula for a power set is \(2^n\). Exam tip: always compute \(n(A)\) first and then apply \(2^{n(A)}\).
यहाँ A के तत्व दो हैं: संख्या 1 और एक एकल सदस्य जिसका चेहरा \(\{2\}\) है। ध्यान दें कि \(2\) और \(\{2\}\) अलग-अलग चीज़ें हैं; \(\{2\}\) एक तत्व के रूप में गिना गया है, न कि 2 का वैयक्तिक तत्व। यदि किसी सेट में \(n\) तत्व हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=2\) इसलिए उपसमुच्चय की संख्या \(2^2=4\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 3 है — यह तब होगा जब कोई गलती से भीतरी संख्या \(2\) को अलग तत्व मान ले, जो गलत है। परीक्षा संकेत: हर सदस्य को यह जांचकर गिनें कि वह सामान्य तत्व है या एक ही तत्व वाला उपसमुच्चय। / Set A has two elements: the number 1 and the single element set \(\{2\}\). Note that 2 and \(\{2\}\) are different — \(\{2\}\) is counted as one element, not as the element 2 separately. For a set with \(n\) elements there are \(2^n\) subsets. Here \(n=2\), so the number of subsets is \(2^2=4\). The closest distractor 3 arises if someone mistakenly treats both 2 and \(\{2\}\) as separate elements; that is incorrect. Exam tip: always check whether an item is an element or a subset before counting elements.
\(A'=U\setminus A=\{b,c\}\) जिसमें दो तत्व हैं। किसी भी संचय S के लिए शक्ति समूह का कार्दिनालिटी नियम \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\) है। इसलिए \(|\mathcal{P}(A')|=2^{2}=4\)। निकटवर्ती विचलन: विकल्प A (2) केवल \(A'\) के तत्वों की संख्या है, शक्ति समूह की संख्या नहीं। परीक्षा युक्ति: किसी भी सेट के पावर सेट की संख्या तुरंत \(2^{\text{(तत्वों की संख्या)}}\) से निकालें। / Here \(A'=U\setminus A=\{b,c\}\), which has 2 elements. The cardinality of a power set follows \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\). Thus \(|\mathcal{P}(A')|=2^{2}=4\). Closest distractor: option A (2) mistakes the number of elements of \(A'\) for the number of subsets. Exam tip: Always apply \(2^{\text{number of elements}}\) to get the size of a power set quickly.
\(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है इसलिए यह उसके घात समुच्चय का तत्व है। यह बहुत सामान्य परीक्षा भ्रम है। / \(\emptyset\) is a subset of every set, so it is an element of its power set. This is a common exam confusion.
रिक्त समुच्चय में (U) का कोई तत्व नहीं है इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। पूरक हमेशा संदर्भ पर निर्भर है। / The empty set contains no element of (U), so its complement is the whole (U). Complement always depends on the context.
एकल उपसमुच्चय प्रत्येक एक तत्व से बनता है इसलिए उनकी संख्या (n(A)) के बराबर होती है। यहां संख्या (5) है। / Each singleton subset is formed from one element, so their number equals (n(A)). Here the number is (5).
दो तत्वों वाले उपसमुच्चय चुनने की संख्या \({}^4C_2=6\) है। निश्चित आकार के उपसमुच्चयों में संयोजन का प्रयोग करें। / The number of two-element subsets is \({}^4C_2=6\). Use combinations for subsets of fixed size.
तीन तत्वों वाला एक ही उपसमुच्चय (A) स्वयं है। पूरा समुच्चय भी घात समुच्चय का तत्व होता है। / There is only one three-element subset which is (A) itself. The whole set is also an element of the power set.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में A के सभी उपसमुच्चय होते हैं, जिसमें हमेशा खाली समुच्चय \(\emptyset\) और स्वयं \(A\) शामिल रहते हैं। दिया गया \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{x\}\}\) केवल दो सदस्य दिखाता है, इसलिए A का केवल एक तत्व है और वह नॉन-खाली उपसमुच्चय \(\{x\}\) के रूप में मौजूद है। अतः \(A=\{x\}\)। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(\{\emptyset\}\) इसलिए गलत है क्योंकि यदि \(A=\{\emptyset\}\) होता तो \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\) मिलता, जो दिया हुआ नहीं है। परीक्षा सुझाव: पहले \(|\mathcal{P}(A)|\) से \(|A|\) का अनुमान लगाएँ — अगर \(\mathcal{P}(A)\) में 2 तत्व हैं तो \(|A|=1\)। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) consists of all subsets of \(A\), always including \(\emptyset\) and \(A\) itself. Here \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{x\}\}\) has exactly two elements, so \(A\) must have one element, and the non-empty subset shown is \(\{x\}\). Therefore \(A=\{x\}\). The closest distractor \(\{\emptyset\}\) is wrong because if \(A=\{\emptyset\}\) then \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\), not the given set. Exam tip: use |P(A)|=2^{|A|} — two elements in the power set means |A|=1.
