Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(P(A)) में (A) के उपसमुच्चय होते हैं, और ({{1}}) (A) का उपसमुच्चय है। ({1}) (A) का अवयव है, पर पावर सेट का अवयव बनने के लिए उपसमुच्चय होना चाहिए। / (P(A)) contains subsets of (A), and ({{1}}) is a subset of (A). ({1}) is an element of (A), but an element of the power set must be a subset.
(1) निश्चित है, इसलिए बाकी (5) अवयवों में से (2) चुनने हैं। संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। / (1) is fixed, so choose (2) elements from the remaining (5). The count is \(\binom{5}{2}=10\).
पहले तत्व 5 को बाहर कर दें; बचे हुए तत्व {1,2,3,4} में से किसी भी दो को चुनना है। इसलिए संख्या है \\(\\binom{4}{2} = 6\\)। विकल्प A (4) गलत है क्योंकि यह किसी त्रुटिपूर्ण, अधूरा गणना दर्शाता है। विकल्प C (8) गलत है — 8 किसी मान्य \(nCk\) का परिणाम नहीं है यहाँ। विकल्प D (10) गलत है; 10 बराबर होता है \(\\binom{5}{2}\\), जो तब मिलेगा जब 5 को बाहर न किया गया हो। परीक्षा टिप: किसी तत्व को "शामिल नहीं" करना हो तो पहले उसे सेट से हटा दें और बची वस्तुओं पर \(nCk\) लागू करें। / Exclude the element 5 first; then choose 2 elements from the remaining set {1,2,3,4}. The count is \\(\\binom{4}{2}=6\\). Option A (4) is an undercount due to incorrect selection. Option C (8) is not a valid result of a correct combination computation for this case. Option D (10) equals \\(\\binom{5}{2}\\), which you get only if you do not exclude 5. Exam tip: When a specific element must be excluded, remove it first and then apply combinations to the remaining elements.
\(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) है और पहला विकल्प इसमें पूरा शामिल है। परिमाण वाली शर्त में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों देखें। / \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), and the first option is fully included in it. In absolute value conditions, check both negative and positive values.
शर्त \(|x|<3\) का अर्थ है \(-3<x<3\)। पूर्णांकों के लिए इस अंतराल के अंदर आने वाले मान हैं
\(-2,-1,0,1,2\)। अतः \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), जो बिल्कुल \(B\) के बराबर है। इसलिए \(A=B\) सत्य है।
विकल्प B और C असत्य हैं क्योंकि वे किसी सेट को दूसरे का proper subset मानते हैं
(यानि \(A\neq B\))—यहाँ वास्तविकता में दोनों दिशाओं में समावेशन होते हुए भी समता成立 करती है, इसलिए proper subset का दावा गलत है।
विकल्प D गलत है क्योंकि \(3\) परिशर्त \(|x|<3\) को पूरा नहीं करता।
परीक्षा सुझाव: पहले \(|x|<3\) को \(-3<x<3\) में बदलें और तब केवल पूर्णांक लिखें — इससे सेट के तत्व जल्दी स्पष्ट हो जाते हैं। / The inequality \(|x|<3\) is equivalent to \(-3<x<3\).
For integers the elements in this interval are \(-2,-1,0,1,2\). Hence \(A=\{-2,-1,0,1,2\}=B\), so \(A=B\) is correct.
Options B and C are incorrect because they assert a proper-subset relation (\(A\neq B\)), which is false here — although both \(A\subset B\) and \(B\subset A\) hold, that implies equality, not a proper subset.
Option D is false because \(3\) does not satisfy \(|x|<3\).
Exam tip: Convert the absolute-value condition to an interval and list integer members to decide equality quickly.
A. \(B\subset A\) और \(C\subset A\)/\(B\subset A\) and \(C\subset A\)
Explanation
Simple Explanation
(B) और (C) के सभी अवयव (A) में हैं और दोनों (A) से छोटे हैं। एक ही समुच्चय के कई उचित उपसमुच्चय हो सकते हैं। / All elements of (B) and (C) are in (A), and both are smaller than (A). One set can have many proper subsets.
किसी समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों की संख्या सामान्यतः \(2^{n(A)}\) से दी जाती है, जहाँ \(n(A)\) A के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n(A)=3\), अतः \(2^3=8\)। इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में 8 तत्व होंगे। विकल्प A (6) गलत है क्योंकि यह सही फार्मूला द्वारा नहीं आता; C (9) गलत है — 9 का कोई सम्बन्ध \(2^{n}\) नियम से नहीं बनता; D (12) भी गलत है क्योंकि यह 2^{3} से बड़ा अवैध मान है। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा \(n(A)\) गिनें और फिर \(2^{n(A)}\) लागू करें। / The number of subsets of a set A is given by \(2^{n(A)}\), where \(n(A)\) is the number of elements in A. Here \(n(A)=3\), so \(2^3=8\). Thus \(\mathcal{P}(A)\) has 8 elements. Option A (6) is incorrect because it does not follow the \(2^{n}\) rule; C (9) is incorrect — 9 is not equal to \(2^{3}\); D (12) is also incorrect as it exceeds the correct count. Exam tip: count the elements first, then use \(2^{n}\) to find the size of the power set.
यदि समुच्चय में (n) तत्व हों, तो घात समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहां \(2^4=16\), इसलिए यह नियम याद रखें। / If a set has (n) elements, its power set has \(2^n\) elements. Here \(2^4=16\), so remember this rule.
(A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय देखें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, always check the universal set before finding a complement.
(\mathcal{P}(A)) के तत्व हमेशा (A) के उपसमुच्चय होते हैं। (a) स्वयं तत्व है उपसमुच्चय नहीं। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A). The symbol (a) is an element not a subset.
