Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\) है। यदि हम \(4\) को शामिल करना निश्चित कर दें तो शेष तीन तत्व (1,2,3) प्रत्येक के लिए दो‑दो विकल्प हैं (शामिल या न शामिल)। अतः कुल उपसमुच्चय की संख्या \(2^3=8\) होगी। सामान्य गलतियाँ: कभी‑कभी लोग सभी उपसमुच्चयों \(2^4=16\) को ही उत्तर मान लेते हैं, पर प्रश्न केवल उन उपसमुच्चयों के बारे में है जिनमें \(4\) मौजूद है—इसलिए उत्तर आधा होता है। परीक्षा सुझाव: किसी n‑तत्व सेट में किसी विशेष तत्व को अनिवार्य मानने पर उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। / Here \(A=\{1,2,3,4\}\). Fixing \(4\) as included leaves three elements (1,2,3), each of which can be either present or absent, giving \(2^3=8\) subsets. A common error is to use the total number of subsets \(2^4=16\); but the question asks only for subsets that contain 4, which is exactly half of the total. Exam tip: for an n‑element set, the number of subsets containing a given element is \(2^{n-1}\).
अधिकतम दो अवयव का अर्थ (0,1,2) अवयव हैं। संख्या \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\) है। / At most two elements means (0,1,2) elements. The count is \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\).
कम से कम तीन अवयव का अर्थ तीन या चार अवयव हैं। संख्या \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5\) है। / At least three elements means three or four elements. The count is \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5\).
\(x^2=9\) के पूर्णांक हल (-3) और (3) हैं। वर्ग वाले समीकरण में ऋणात्मक हल भी जांचें। / The integer solutions of \(x^2=9\) are (-3) and (3). Check the negative solution in square equations too.
A. \(C\subset A\) और \(C\neq A\)/\(C\subset A\) and \(C\neq A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A=\{-4,4\}\) है और \(C=\{4\}\) इसका उचित उपसमुच्चय है। केवल धनात्मक हल लेने से गलती हो सकती है। / \(A=\{-4,4\}\), and \(C=\{4\}\) is its proper subset. Taking only the positive solution can cause an error.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है इसलिए हल (2,3) हैं। पहले समीकरण हल करें फिर समुच्चय लिखें। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the solutions are (2,3). First solve the equation and then write the set.
पहला कदम समीकरण को गुणनखंडों में लिखना है: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\)। इसलिए हल \(x=1\) और \(x=3\) हैं। चूँकि \(x\in\mathbb{N}\) है, अतः \(A=\{1,3\}\)। दिया गया \(B=\{1\}\) है, जो \(A\) का उपसमुच्चय है पर समान नहीं है, इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है (\(B\subset A,\;B\neq A\))। निकटतम ग़लत विकल्प \(A=B\) इसलिए गलत है क्योंकि \(A\) में तत्व \(3\) भी है। परिक्षा-सूत्र: जब सेट में \(x\in\mathbb{N}\) दिया हो तो केवल धनात्मक पूर्णांकों को ही हल में रखें और बहुधा समीकरण को गुणनखंडों में विभाजित कर हल निकालें। / Factor the quadratic: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), so the roots are \(x=1\) and \(x=3\). With the restriction \(x\in\mathbb{N}\), we get \(A=\{1,3\}\). Since \(B=\{1\}\), B is a proper subset of A, i.e. \(B\subset A\) and \(B\neq A\). The closest distractor \(A=B\) is incorrect because A contains the additional element 3. Exam tip: always apply the domain restriction (here \(\mathbb{N}\)) and factor quadratics to list all elements of the set.
D. न \(A\subseteq B\) और न \(B\subseteq A\)/Neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
(1) (B) में नहीं है और (4) (A) में नहीं है। कुछ साझा अवयव होना उपसमुच्चय के लिए पर्याप्त नहीं है। / (1) is not in (B), and (4) is not in (A). Having some common elements is not enough for subset relation.
समुच्चय \(A\) के सभी अवयव — 2, 4 और 6 — समुच्चय \(B\) में मौजूद हैं। समुच्चय \(B\) में अतिरिक्त अवयव 1 और 8 भी हैं, इसलिए \(A\) और \(B\) समकक्ष नहीं हैं और \(A\) एक उचित उपसमुच्चय (proper subset) है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(B\) के अवयव सभी \(A\) में नहीं हैं; विकल्प (C) गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय समान नहीं हैं; विकल्प (D) गलत है क्योंकि 1 और 8 \(A\) के सदस्य नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी उपसमुच्चय की जाँच के लिए पहले \(A\) के हर तत्व को \(B\) में खोजें और फिर अतिरिक्त तत्वों पर ध्यान दें। / Every element of \(A\) (2, 4, 6) is present in \(B\), while \(B\) contains extra elements 1 and 8. Therefore \(A\) is a proper subset of \(B\). Option B is false because not all elements of \(B\) are in \(A\); C is false because the sets are not equal; D is false because 1 and 8 are not elements of \(A\). Exam tip: to verify subset relations, check membership of each element of the smaller set in the larger set, then look for any extra elements.
(30) से कम (6) के धनात्मक गुणज (6,12,18,24) हैं। कम से कम और कम का अंतर याद रखें। / The positive multiples of (6) less than (30) are (6,12,18,24). Remember the difference between at most and less than.
