Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (A) (B) का उपसमुच्चय है और दोनों में समान संख्या में अवयव हैं, तो वे बराबर हैं। समान कार्डिनैलिटी यहां महत्वपूर्ण संकेत है। / If (A) is a subset of (B) and both have the same number of elements, they are equal. Equal cardinality is the key clue here.
उचित उपसमुच्चय में (A) और (B) बराबर नहीं हो सकते, इसलिए (n(A)) (7) नहीं होगा। उचित उपसमुच्चय में कम अवयव होने चाहिए। / In a proper subset, (A) and (B) cannot be equal, so (n(A)) cannot be (7). A proper subset must have fewer elements here.
(B) के दोनों अवयव (A) में हैं और (A) में अतिरिक्त अवयव हैं। इसलिए (B) (A) का उचित उपसमुच्चय है। / Both elements of (B) are in (A), and (A) has extra elements. So (B) is a proper subset of (A).
(10<x<16) में (11) से (15) तक प्राकृतिक संख्याएं आती हैं। खुली सीमा में (10) और (16) शामिल नहीं होते। / For (10<x<16), the natural numbers are (11) to (15). Open boundaries do not include (10) and (16).
\(A=\{3,4,5,6\}\) है और ({3,5,6}) इसमें पूरा है पर बराबर नहीं। उचित उपसमुच्चय में कम से कम एक अवयव छूटता है। / \(A=\{3,4,5,6\}\), and ({3,5,6}) lies inside it but is not equal. A proper subset misses at least one element.
A के सदस्य दो वस्तुएँ हैं: रिक्त समुच्चय \(\varnothing\) और संख्या 1. इसीलिए \(\varnothing\in A\) सत्य है। विकल्प B गलत है क्योंकि A का तत्व 1 है पर {1} (यानी 1 का एक सेट) A का तत्व नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि कोई भी तत्व रिक्त समुच्चय का सदस्य नहीं होता। विकल्प D गलत है क्योंकि {\varnothing,1} बराबर A के है, इसलिए वह A का proper subset नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: सदैव "तत्व (element)" और "उपसमुच्चय (subset)" में अंतर स्पष्ट कर लें। / The set A contains exactly two elements: the empty set \(\varnothing\) and the number 1. Therefore \(\varnothing\in A\) is true. Option B is false because although 1\in A, the set {1} is not an element of A. Option C is false since nothing belongs to the empty set. Option D is false because {\varnothing,1} equals A, so it is not a proper subset of A. Exam tip: always distinguish between an element \(\in\) and a subset \(\subset or \subseteq\) when checking statements.
\(\varnothing\) (A) का अवयव है इसलिए \({\varnothing}\) (A) का उपसमुच्चय है। ({1}) अवयव है, पर (1) अवयव नहीं है। / \(\varnothing\) is an element of (A), so \({\varnothing}\) is a subset of (A). ({1}) is an element, but (1) is not.
(1) हटेगा और (6) निश्चित होगा, बाकी (2,3,4,5) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय बनते हैं। / (1) is excluded and (6) is fixed, while (2,3,4,5) are free. So \(2^4=16\) subsets are formed.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और जिनमें (p,q) दोनों नहीं हैं वे \(2^2=4\) हैं। अतः उत्तर (16-4=12) है। / Total subsets are (16), and those containing neither (p) nor (q) are \(2^2=4\). Hence the answer is (16-4=12).
(1,2) दोनों होने पर \(2^2=4\) और दोनों न होने पर \(2^2=4\) विकल्प हैं। कुल (8) उपसमुच्चय बनते हैं। / When both (1,2) are included there are \(2^2=4\) choices, and when neither is included there are \(2^2=4\) choices. Total is (8).
