Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यूनियन (\(\cup\)) में सभी समुच्चय के अलग-अलग अवयव शामिल किए जाते हैं। यहाँ \(A\) में 1 और 2 हैं, \(B\) में 2 और 3 हैं, \(C\) में 3 और 4 हैं। सभी अलग-अलग अवयव मिलाकर \(\{1,2,3,4\}\) बनता है। विकल्प D में अवयव दोहराए गए हैं — समुच्चय में दोहराव मान्य नहीं है; विकल्प B और C कुछ अवयव गायब करते हैं। परीक्षा-सुझाव: यूनियन चरण-दर-चरण करें और केवल अलग-अलग तत्व लिखें। / Union \((\cup)\) collects every distinct element from the sets. A contributes 1 and 2, B contributes 2 and 3, C contributes 3 and 4; collecting distinct elements gives \(\{1,2,3,4\}\). Option D incorrectly shows repeated entries (sets do not list duplicates); options B and C omit elements. Exam tip: compute union stepwise (e.g. first \(A\cup B\), then union with \(C\)) and list each element only once.
यदि \(A\subseteq B\) है तो इसका अर्थ है कि सेट \(A\) का हर तत्व सेट \(B\) में भी मौजूद है। प्रतिशत का परस्पर सामान्य भाग (intersection) उन तत्वों का सेट होता है जो दोनों सेटों में सामान्य हों। चूँकि \(A\) के सभी तत्व \(B\) में हैं, इसलिए सभी तत्व \(A\) और \(B\) दोनों में ही आते हैं; अतः \(A\cap B= A\)। विकल्प \(B\) गलत है क्योंकि \(B\) में \(A\) के अतिरिक्त भी तत्व हो सकते हैं। \(A\cup B\) भी गलत है क्योंकि यह दोनों का सम्मिलन है और सामान्यतः \(A\) से बड़ा या बराबर होगा। \(B\setminus A\) (या \(B-A\)) तो स्पष्ट रूप से \(A\) के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि इसमें उन तत्वों को रखा जाता है जो \(B\) में हैं पर \(A\) में नहीं। परीक्षण युक्ति: यदि पूछा जाए कि \(A\cap B\) क्या होगा और दिया हो \(A\subseteq B\), तुरंत उत्तर \(A\) याद रखें। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) also belongs to \(B\). The intersection \(A\cap B\) consists of elements common to both sets. Since all elements of \(A\) are in \(B\), every element of \(A\) is in the intersection, so \(A\cap B= A\). Option \(B\) is incorrect because \(B\) may contain additional elements not in \(A\). Option \(A\cup B\) is the union (usually larger than or equal to \(A\)). Option \(B\setminus A\) contains only elements of \(B\) that are not in \(A\), so it cannot equal \(A\). Exam tip: memorize the subset-intersection identity \(A\cap B=A\) whenever \(A\subseteq B\).
पहले \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(A\cap B=\{3,4\}\) है। \((A\cup B)-(A\cap B)\) का अर्थ यूनियन से इंटरसेक्शन के तत्वों को हटाना है, इसलिए बचे हुए तत्व \(\{1,2,5,6\}\) होंगे। विकल्प B केवल इंटरसेक्शन है; विकल्प C पूरी यूनियन है (इंटरसेक्शन नहीं हटाया गया); विकल्प D खाली सेट है और गलत है। परीक्षा‑टिप: इसे सिमेट्रिक डिफरेंस समझें — वे तत्व जो ठीक एक ही सेट में हों। / Compute \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(A\cap B=\{3,4\}\). Subtracting the intersection from the union removes 3 and 4, leaving \(\{1,2,5,6\}\). Option B gives the intersection, C gives the full union (didn't remove the common elements), and D is the empty set. Exam tip: \((A\cup B)-(A\cap B)\) is the symmetric difference — elements that belong to exactly one set.
सेट का अंतर परिभाषा है: \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\)। यहाँ \(blue\) दोनों सेटों में सामान्य है, इसलिए उसे \(A\) से हटा दिया जाएगा। अतः \(A-B=\{red,\;green\}\)। विकल्प B त्रुटिपूर्ण है क्योंकि वह दोनों का समाहार (intersection) \(A\cap B=\{blue\}\) दिखाता है; विकल्प C गलत है क्योंकि \(yellow\) \(A\) में नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि वह दोनों का योग (union) है, अंतर नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी तत्व को निकालने से पहले चेक करें कि वह वास्तव में \(B\) में है या नहीं — केवल सामान्य तत्वों को ही हटाएँ। / Set difference is defined by \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\). Here the only element common to both sets is \(blue\), so remove it from \(A\). Therefore \(A-B=\{red,\;green\}\). Option B is the intersection \(A\cap B=\{blue\}\), not the difference; option C is wrong because \(yellow\) is not an element of \(A\); option D is the union of the sets, not the difference. Exam tip: verify membership of each element in \(B\) before removing it from \(A\) to avoid confusing difference with union or intersection.
समुच्चयों के कार्डिनैलिटी पर शामिल-अपवाद (inclusion–exclusion) सूत्र है: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\)। यहाँ \(8+6-10=4\) आता है, अतः उत्तर 4 है। भ्रामक विकल्पों की जाँच: 2 तब मिल सकता है जब कोई भिन्नता \(|n(A)-n(B)|=2\) को गलत तरीके से अन्तर समझ ले; 14 वह मान है जो ओवरलैप को न घटाने पर समष्टि जोड़ने से मिलता है; 10 संघ (union) का मान है, न कि छेद (intersection)। परीक्षा टिप: जोड़ते समय हमेशा inclusion–exclusion सूत्र याद रखें और जाँचें कि intersection किसी भी सेट के आकार से अधिक नहीं हो सकता (यहाँ अधिकतम 6)। / Use the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Substituting gives \(8+6-10=4\), so the intersection has 4 elements. Why other options are wrong: 2 is \(|n(A)-n(B)|\), a different quantity, 14 ignores overlap (sum of sizes), and 10 is the union, not the intersection. Exam tip: apply the inclusion–exclusion formula directly and verify the intersection ≤ min\(n(A),n(B)\) to catch mistakes.
समुच्चयों के काउंट की सामान्य सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(A\cap B=\varnothing\) होने से \(n(A\cap B)=0\) होगा, अतः \(n(A\cup B)=3+5-0=8\)। विकल्प B (5) गलत है क्योंकि वह केवल \(B\) के तत्वों की गिनती है और \(A\) के तत्व जोड़ना भूल गया है। परीक्षा सलाह: किसी भी दो समुच्चयों के यूनियन के लिए ऊपर दिया गया सूत्र याद रखें और सबसे पहले \(n(A\cap B)\) की वैल्यू जाँच लें। / Use the formula for two sets: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Since \(A\cap B=\varnothing\), we have \(n(A\cap B)=0\), so \(n(A\cup B)=3+5-0=8\). Option B (5) is wrong because it counts only the elements of \(B\) and ignores the elements of \(A\). Exam tip: always apply the union formula and evaluate \(n(A\cap B)\) first — if sets are disjoint, simply add their cardinalities.
समीकरण के हल (3) और (4) हैं इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। पहले समीकरण हल करें फिर अवयव मिलाएं। / The solutions of the equation are (3) and (4), so the two sets are equal. First solve the equation and then match the elements.
(2) और (5) निश्चित हैं तथा (7) हटेगा, बाकी (4) अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। / (2) and (5) are fixed and (7) is excluded, while the remaining (4) elements are free. Hence the number is \(2^4=16\).
यहाँ 2 को शामिल और 7 को बाहर मान लिया गया है। शेष तत्व {3,5} स्वतंत्र हैं — प्रत्येक के दो विकल्प हैं (शामिल या न शामिल)। अत: कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। नजदीकी गलती: विकल्प D (8) उस त्रुटि से आता है जहाँ तीन स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ (यानी 2 को फिक्स न किया जाए)। परीक्षा-सुझाव: पहले किन तत्वों को फिक्स/निकालना है तय कर लें, फिर बचे तत्वों पर \(2^{\text{free elements}}\) लागू करें। / Fix 2 as included and 7 as excluded. The remaining elements {3,5} are free, each can be either included or excluded, so number of subsets = \(2^{2}=4\). Closest distractor: 8 arises if one mistakenly treats all three other elements as free (i.e. forgets that 2 is fixed). Exam tip: first fix included/excluded elements, then use \(2^{\text{number of remaining elements}}\) for the count.
(P(A)) में (A) के उपसमुच्चय अवयव बनते हैं और \({{\varnothing}}\) (A) का उपसमुच्चय है। पावर सेट में अवयव हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / Elements of (P(A)) are subsets of (A), and \({{\varnothing}}\) is a subset of (A). In a power set, elements are always subsets.
