Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
घात समुच्चय का हर तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({a,{c}}) के दोनों तत्व (A) में हैं, इसलिए यह सही है। / Every element of a power set is a subset of the original set. Both elements of ({a,{c}}) are in (A), so it is correct.
पूरक में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। (U) बदले तो पूरक भी बदल सकता है। / The complement contains elements of (U) that are not in (A). If (U) changes the complement may change.
\(2^n=32\) से (n=5), इसलिए कुल उपसमुच्चय (32) हैं। उचित उपसमुच्चय में स्वयं (A) नहीं आता, इसलिए संख्या (31) होगी। / From \(2^n=32\), we get (n=5), so total subsets are (32). A proper subset excludes (A) itself, so the number is (31).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और उचित उपसमुच्चय में (A) स्वयं शामिल नहीं होता। इसलिए संख्या (15) है। / Total subsets are \(2^4=16\) and a proper subset excludes (A) itself. Therefore the number is (15).
घातसमुच्चय की संख्या मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या \(n\) के अनुसार \(2^n\) होती है। यहाँ \(2^n=32\) है, और \(32=2^5\) होने से \(n=5\) आता है। अतः A में 5 तत्व हैं। निकटवर्ती गलत विकल्पों की व्याख्या: यदि कोई कहे कि उत्तर 4 है तो वह \(2^4=16\) को भूल रहा है; यदि 6 चुना जाए तो \(2^6=64\) होगा। विकल्प 16 यह भ्रम प्रदर्शित करता है कि प्रश्न में दिए गए 32 को सीधे ही उत्तर मान लिया गया — पर 32 घातसमुच्चय की संख्या है न कि मूल समुच्चय का। परीक्षा-सूत्र: घातसमुच्चय के लिए हमेशा नियम याद रखें — यदि मूल समुच्चय में \(n\) तत्व हैं तो घातसमुच्चय में \(2^n\) तत्व होंगे। / The size of a power set of a set with \(n\) elements is \(2^n\). Given \(2^n=32\) and since \(32=2^5\), we get \(n=5\). So A has 5 elements. Why other options are wrong: 4 would correspond to \(2^4=16\), 6 would give \(2^6=64\), and 16 confuses the power set size with the original set size. Exam tip: remember the formula |\(\mathcal{P}(A)\)| = \(2^{|A|}\) and match powers of two quickly (16, 32, 64...).
रिक्त समुच्चय का एक ही उपसमुच्चय होता है, वह स्वयं रिक्त समुच्चय है। इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)) में एक तत्व होता है। / The empty set has only one subset, the empty set itself. Therefore (\mathcal{P}\(\varnothing\)) has one element.
यहाँ \(A=\{\emptyset\}\) है, अर्थात् सेट A का एक ही तत्व है और वह तत्व खाली समुच्चय \(\emptyset\) है। किसी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या नियमतः \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) उस सेट के तत्वों की संख्या है। इसलिए \(n=1\) होने पर उपसमुच्चय होंगे \(2^1=2\)। उन दो उपसमुच्चयों को लिखें: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\) — यही \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व हैं। अक्सर छात्रों की सामान्य भूल यह है कि वे \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\) को एक ही समझ लेते हैं; यदि सेट खुद खाली होता (यानी \(A=\emptyset\)) तब उपसमुच्चय केवल एक (\(2^0=1\)) होते — यही वजह से विकल्प A गलत है। परीक्षा-टिप: प्रश्न में दिए गए सेट को ध्यान से पढ़ें — यह खाली सेट नहीं बल्कि खाली सेट को घटक के रूप में रखता है। / Here \(A=\{\emptyset\}\), so A has exactly one element, namely the empty set \(\emptyset\). The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^n\). With \(n=1\) we get \(2^1=2\) subsets. Explicitly the subsets are \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\), which are the two elements of \(\mathcal{P}(A)\). A common mistake is to confuse \(\emptyset\) (the empty set) with \(\{\emptyset\}\) (a set containing the empty set); if A were \(\emptyset\) then there would be \(2^0=1\) subset, so option A would be correct only in that different case. Exam tip: always check whether the empty set is an element of the set or the set itself is empty.
(A') खाली होने का अर्थ है कि (U) में (A) के बाहर कोई तत्व नहीं है। इसलिए (A) और (U) समान हैं। / (A') being empty means there is no element of (U) outside (A). Hence (A) and (U) are equal.
B. यह संदर्भ के सभी विचाराधीन तत्वों को रखता है/It contains all elements under consideration
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय संदर्भ के अनुसार सभी विचाराधीन तत्वों का समुच्चय होता है। इसे हमेशा प्रश्न के संदर्भ से पहचानें। / A universal set contains all elements under discussion in the given context. Always identify it from the question context.
दोनों (A) के उपसमुच्चय हैं इसलिए दोनों (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। घात समुच्चय में पूरा (A) भी शामिल होता है। / Both are subsets of (A), so both are elements of (\mathcal{P}(A)). The power set also contains (A) itself.
