Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समूह \(A\) में 2 तत्व हैं। शक्ति समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) के तत्वों की संख्या के लिए सूत्र \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) होता है। अतः \(n(B)=2^{2}=4\). विकल्प '2' गलत है क्योंकि वह केवल मूल समूह के तत्वों की संख्या है, न कि उसके उपसमुच्चयों की संख्या; विकल्प '8' तब मिलता अगर \(A\) में 3 तत्व होते (\(2^3=8\))। परीक्षा-सुझाव: छोटी सेटों पर उपसमुच्चयों को सूचीबद्ध करके जल्दी सत्यापित कर लें और सूत्र \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) याद रखें। / Set \(A\) has 2 elements. The number of elements in the power set \(\mathcal{P}(A)\) is given by \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Therefore \(n(B)=2^{2}=4\). Option '2' is incorrect because it gives the number of elements of A, not the number of subsets; option '8' would occur only if A had 3 elements (\(2^3=8\)). Exam tip: memorize \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) and for small sets verify by listing subsets.
दो तत्वों वाले समुच्चय का घात समुच्चय चार उपसमुच्चयों से बनता है। तत्वों को उपसमुच्चय की तरह लिखना जरूरी है। / The power set of a two-element set has four subsets. The elements must be written as subsets.
({0,2}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय है। अतः यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / All elements of ({0,2}) are in (A), so it is a subset of (A). Hence it is an element of (\mathcal{P}(A)).
तीन तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \({}^5C_3=10\) है। निश्चित आकार की गिनती में क्रम नहीं माना जाता। / The number of three-element subsets is \({}^5C_3=10\). Order is not considered in fixed-size subset counting.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में समुच्चय \(A\) के सभी उपसमुच्चय आते हैं। चूँकि \(A\) के चार तत्व हैं, इसलिए स्वयं \(A\)=\(\{a,b,c,d\}\) ही एकमात्र चार-तत्वीय उपसमुच्चय है। विकल्प C में तीन तत्व हैं, B में दो और A विकल्प शून्य-तत्वीय है, अतः वे सभी गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी विकल्प की तत्व-गणना करके सीधे यह जाँच लें कि उसकी कार्डिनैलिटी मांगी गई संख्या से मिलती है या नहीं। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). Since \(A\) has four elements, \(A\) itself (\(\{a,b,c,d\}\)) is the only subset with four elements. Option C has three elements, B has two and A is the empty set, so they are incorrect. Exam tip: count the elements in each subset to quickly verify the required cardinality.
घात समुच्चय (power set) के तत्वों की संख्या का सूत्र \(2^{n}\) है जहाँ \(n=n(A)\)। हमें \(2^{n}=16\) चाहिए। \(2^{4}=16\) होने पर \(n=4\)। इसलिए विकल्प C सही है। निकटभ्रामक विकल्पों की जाँच: \(n(A)=3\) के लिए \(2^{3}=8\) और \(n(A)=8\) के लिए \(2^{8}=256\) — ये 16 नहीं देते; \(n(A)=2\) पर \(2^{2}=4\)। परीक्षा टिप: सीधे समीकरण \(2^{n}=16\) लिखकर या 16 को द्विघातों के रूप में पहचानकर \(n\) निकालें। / The cardinality of a power set is given by \(2^{n}\), where \(n=n(A)\). We need \(2^{n}=16\). Since \(2^{4}=16\), \(n=4\), so option C is correct. Checking distractors: for \(n=3\), \(2^{3}=8\); for \(n=8\), \(2^{8}=256\); for \(n=2\), \(2^{2}=4\) — none equal 16. Exam tip: Solve \(2^{n}=16\) directly or recognise 16 as a power of 2 to find \(n\).
छह तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^6=64\) होते हैं। हर तत्व के लिए शामिल या न शामिल दो विकल्प होते हैं। / A six-element set has \(2^6=64\) subsets. Each element has two choices included or not included.
सार्वत्रिक समुच्चय का पूरक उसी संदर्भ में रिक्त होता है। (U) के बाहर कोई विचाराधीन तत्व नहीं माना जाता। / The complement of the universal set is empty in that context. No considered element lies outside (U).
(\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}) होता है इसलिए उसका सदस्य \(\emptyset\) है। \({\emptyset}\) पूरा घात समुच्चय है सदस्य नहीं। / (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}), so its member is \(\emptyset\). \({\emptyset}\) is the whole power set not its member.
A. \(A\subseteq U\) नहीं है/\(A\subseteq U\) is not true
Explanation
Simple Explanation
पूरक सामान्यतः तब लिया जाता है जब \(A\subseteq U\) हो। यहां (d), (U) में नहीं है इसलिए समस्या है। / Complement is normally taken when \(A\subseteq U\). Here (d) is not in (U), so there is a problem.
