Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल उपसमुच्चय (128) हैं और उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय नहीं गिना जाता। इसलिए संख्या (128-1=127) होगी। / There are (128) total subsets, and a proper subset does not include the whole set itself. So the number is (128-1=127).
(b) स्वयं (A) का तत्व नहीं है, बल्कि ({b}) तत्व है। इसलिए ({a,b}), (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (b) itself is not an element of (A); ({b}) is an element. So ({a,b}) is not a subset of (A).
घात समुच्चय का तत्व हमेशा मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({p,q}) में केवल (A) के तत्व हैं, इसलिए यह सही है। / An element of a power set is always a subset of the original set. ({p,q}) contains only elements of (A), so it is correct.
(3) स्वयं (A) का तत्व नहीं है, बल्कि ({3}) तत्व है। इसलिए ({1,3}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (3) itself is not an element of (A); ({3}) is an element. So ({1,3}) is not a subset of (A).
रिक्त समुच्चय में (0) तत्व हैं, इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)) में \(2^0=1\) तत्व होता है। याद रखें कि \(\varnothing\) भी एक उपसमुच्चय है। / The empty set has (0) elements, so (\mathcal{P}\(\varnothing\)) has \(2^0=1\) element. Remember that \(\varnothing\) is also a subset.
(\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) में (1) तत्व है। इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^1=2\) तत्व होंगे। / (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) has (1) element. Therefore its power set has \(2^1=2\) elements.
(A') में (2,4,6,8) हैं, इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष होता है। / (A') contains (2,4,6,8), so it has (4) elements. A complement is always taken with respect to the given universal set.
एक कक्षा के (40) विद्यार्थियों में (18) गणित क्लब में और (15) विज्ञान क्लब में हैं। यदि (6) विद्यार्थी दोनों क्लब में हैं, तो किसी भी क्लब में नहीं होने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
(n\(A\cup B\)=18+15-6=27), इसलिए बाहर के विद्यार्थी (40-27=13) हैं। ऐसे प्रश्नों में सार्वत्रिक समुच्चय कुल विद्यार्थियों का होता है। / (n\(A\cup B\)=18+15-6=27), so students outside are (40-27=13). In such questions, the universal set is the total group.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cup B\)'=A'\cap B')। संघ के पूरक में केवल वे तत्व आते हैं जो दोनों से बाहर हों। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B'). The complement of a union contains elements outside both sets.
किसी समुच्चय के पूरक का पूरक वही समुच्चय होता है। इसे द्वि-पूरक नियम कहते हैं। / The complement of the complement of a set is the set itself. This is called the double complement law.
