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समाधान निकालने के लिए द्विघात बहुपद को विगुणित करें: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण के मूल (roots) \(2\) और \(3\) हैं, अतः सेट \(A=\{2,3\}\) बनता है। चूँकि \(B\) भी \(\{2,3\}\) है, इसलिए \(A=B\) सही है। नजदीकी भ्रामक विकल्प \(C\) गलत है क्योंकि वहाँ कहा गया है कि \(B\) का समुच्चय \(A\) में आकर भी वे बराबर नहीं हैं—पर वास्तव में दोनों के अवयव समान हैं। परीक्षीय सुझाव: द्विघात समीकरणों में हमेशा गुणनखंड निकालें और प्राप्त मूलों से समुच्चय बनाकर तुलना करें। / Factor the quadratic: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Hence the roots are \(2\) and \(3\), so \(A=\{2,3\}\). Since \(B=\{2,3\}\) as well, we have \(A=B\). The closest distractor (C) is incorrect because it asserts a proper subset relationship even though the two sets have identical elements. Exam tip: Always factor quadratics to find roots and then express the solution set explicitly before comparing sets.
A. सत्य है और (A) उचित उपसमुच्चय है/It is true and (A) is a proper subset
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / All elements of (A) are in (B), and (B) has one extra element. Hence (A) is a proper subset.
(20) के धनात्मक भाजक (1,2,4,5,10,20) हैं। भाजक वाले प्रश्न में (1) और संख्या स्वयं न भूलें। / The positive divisors of (20) are (1,2,4,5,10,20). In divisor questions do not forget (1) and the number itself.
\(A=\{x\in\mathbb{N}:x\le 4\}\) का विस्तार \(\{1,2,3,4\}\) है और \(B\) भी \(\{1,2,3,4\}\) ही है। समुच्चय में क्रम और पुनरावृत्ति का कोई महत्व नहीं होता, अत: \(A=B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि समुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\subset B\) बताने के लिए \(A\) और \(B\) के बीच proper subset होना चाहिए, पर यहाँ वे बराबर हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि \(B\) शून्य समुच्चय नहीं है। परीक्षा सुझाव: समुच्चय की समानता जाँचने के लिए दोनों का सदस्यता सेट लिखकर तुलना करें — क्रम महत्वपूर्ण नहीं। / Expanding \(A\) gives \(\{1,2,3,4\}\), which is exactly the set \(B\). Sets are unordered and list order or repetition does not affect equality, so \(A=B\). Option B is wrong because order of listing does not change a set. Option C is wrong because a proper subset claim fails when the two sets are equal. Option D is wrong because \(B\) is not the empty set. Exam tip: To test set equality, list elements of each set and compare membership; ignore order and duplicates.
दोहराए गए अवयव समुच्चय में एक बार ही माने जाते हैं। इसलिए दोनों में वही अलग अवयव हैं। / Repeated elements are counted only once in a set. Therefore both have the same distinct elements.
(1) और \(\varnothing\) दोनों (A) के अवयव हैं। उपसमुच्चय में हर चुना अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। / Both (1) and \(\varnothing\) are elements of (A). Every chosen element of a subset must belong to the original set.
तीन अवयवों के कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। उचित उपसमुच्चय में पूरा (A) हटाने पर (7) बचते हैं। / A three element set has \(2^3=8\) total subsets. Removing the whole set (A) gives (7) proper subsets.
जब \(A\subseteq B\) और दोनों के अवयवों की संख्या समान हो तो कोई अतिरिक्त अवयव नहीं बचता। इसलिए (A=B)। / When \(A\subseteq B\) and both have the same number of elements, no extra element remains. Hence (A=B).
समाधान: पूर्णांकों में समीकरण \(x^2=1\) के हल \(x=1\) और \(x=-1\) हैं। अतः \(A=\{-1,1\}\), जो कि दिया गया \(B\) सेट है। इसलिए \(A=B\) सत्य है। नज़दीकी विचलन: विकल्प (B) सिर्फ \(1\) को रखता है और \(-1\) को छोड़ देता है, इसलिए गलत है। परखने की टिप: जब सेट समीकरण दें तो पहले डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) में सभी हल लिखें और फिर तत्वों की एक सूची बनाकर तुलना करें। / Reasoning: Over integers the equation \(x^2=1\) has solutions \(x=1\) and \(x=-1\). Thus \(A=\{-1,1\}\), which equals \(B\); so \(A=B\) is correct. Closest distractor: option (B) lists only \(1\) and omits \(-1\), so it is incorrect. Exam tip: always solve the equation within the specified domain (here \(\mathbb{Z}\)) and compare full element lists to test set equality.
36 का गुणनखंड रूप 36 = 22 × 32 है। किसी पूर्ण वर्ग भाजक के लिए 2 और 3 के घातांकों को भी सम (even) होना चाहिए और मूल संख्या के घातांक से अधिक नहीं। इसलिए 2 के लिए संभव घातांक 0 या 2 और 3 के लिए भी 0 या 2 हैं। इससे मिलने वाले पूर्ण वर्ग भाजक हैं 20·30=1, 22·30=4, 20·32=9, 22·32=36, अत: A = {1,4,9,36}। विकल्प B ({4,9}) सही तो है पर पूर्ण उत्तर नहीं देता (1 और 36 गायब हैं)। विकल्प C में 6 एक पूर्ण वर्ग नहीं है और विकल्प D में कोई भी पूर्ण वर्ग नहीं है। परीक्षा-सुझाव: किसी संख्या के पूर्ण वर्ग भाजक निकालने के लिए उसके प्राथमिक गुणनखंडों के घातांक सम होने के सभी संयोजनों का प्रयोग करें। / Factor 36 = 22 × 32. A perfect-square divisor must have even exponents for each prime, not exceeding the exponents in 36. So possible exponents for 2 are 0 or 2, and for 3 are 0 or 2. That yields 20·30=1, 22·30=4, 20·32=9 and 22·32=36. Hence A = {1,4,9,36}. Option B ({4,9}) is a subset but omits 1 and 36. Option C contains 6 which is not a perfect square; option D contains no perfect squares. Exam tip: use prime factorization and choose even exponents ≤ those in the number to list perfect-square divisors systematically.
