Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि (C) का हर अवयव (A) में है और \(A\ne C\)/Because every element of (C) is in (A) and \(A\ne C\)
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय के लिए हर अवयव का सम्मिलन और असमानता दोनों चाहिए। केवल अवयवों की संख्या कम होना पर्याप्त नहीं है। / A proper subset needs inclusion of every element and inequality. Having fewer elements alone is not enough.
A में 3 के धनात्मक गुणज जिनकी मान x < 15 है, वे 3, 6, 9, 12 हैं। अतः A = {3,6,9,12} है। B भी {3,6,9,12} है, इसलिए A और B बराबर हैं। नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (B ⊂ A पर A ≠ B) इसलिए गलत है क्योंकि वह मानकर चलता है कि A में B के अलावा कोई और तत्व है — परन्तु A में कोई अतिरिक्त तत्व नहीं है। विकल्प D गलत है क्योंकि वह 15 को शामिल करता है जबकि शर्त x < 15 है (कठोर असमानता)। परीक्षा टिप: किसी सेट का निर्धारण करते समय तत्वों को सूचीबद्ध कर लें और सीमा (≤ या <) पर विशेष ध्यान दें। / The positive multiples of 3 that satisfy x < 15 are 3, 6, 9 and 12. Thus A = {3,6,9,12}, which is exactly B, so A = B. The closest distractor C (B ⊂ A but A ≠ B) is wrong because it assumes A contains extra elements beyond B; here it does not. Option D is incorrect because it includes 15 even though the condition is x < 15 (strict inequality). Exam tip: When sets are defined by a rule, list the actual elements and check boundary conditions (strict vs non‑strict inequalities).
हर अगले समुच्चय में पिछले के सभी अवयव और एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए उचित उपसमुच्चय की शृंखला बनती है। / Each next set contains all elements of the previous one and one extra element. Hence it forms a chain of proper subsets.
\(A=\{3,4,5,6\}\) है और ({3,5}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है। / Here \(A=\{3,4,5,6\}\), and ({3,5}) lies inside it but is not equal to it. So it is a proper subset.
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में अतिरिक्त अवयव ({1}) है। ({1}) को (1) से अलग मानें। / All elements of (A) are in (B), and (B) has the extra element ({1}). Treat ({1}) as different from (1).
समुच्चय \(A\) में 10 के धनात्मक गुणज जो 50 से कम हैं: \(A=\{10,20,30,40\}\)। इसमें कुल अवयव \(n=4\) हैं। किसी भी समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^n\) होती है; उचित उपसमुच्च्य वह होते हैं जो मूल समुच्चय के बराबर नहीं होते — अतः संख्या \(2^4-1=15\)। विकल्प C (16) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है (जिसमें स्वयं समुच्चय भी शामिल है), इसलिए गलत है। परीक्षा युक्ति: पहले तत्वों की गिनती कर लें फिर हमेशा उचित उपसमुच्चयों के लिए \(2^n-1\) का नियम लागू करें। / The positive multiples of 10 less than 50 are \(A=\{10,20,30,40\}\), so \(n=4\). The total number of subsets is \(2^n\); proper subsets exclude the set itself, so the count is \(2^4-1=15\). Option C (16) gives the total number of subsets including the set itself, not just proper subsets. Quick exam tip: count elements first, then use \(2^n\) for total subsets and \(2^n-1\) for proper subsets.
समीकरण के हल (-2,2) हैं पर प्राकृतिक हल केवल (2) है। दिए हुए संख्या समुच्चय की शर्त अवश्य देखें। / The equation has roots (-2,2), but the natural solution is only (2). Always check the given number set condition.
\(A=\{2,4,6,8,12,24\}\) है और विकल्प में (2,6,8) सभी (A) में हैं। बाहरी अवयव वाला विकल्प उपसमुच्चय नहीं होता। / Here \(A=\{2,4,6,8,12,24\}\), and (2,6,8) all belong to (A). An option with an outside element is not a subset.
तीन अवयव चुनने की संख्या \(\binom{4}{3}=4\) है। ये सभी उचित हैं क्योंकि पूरा समुच्चय चार अवयवों का है। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{4}{3}=4\). All are proper because the whole set has four elements.
शर्त \(0\le x<5\) और "\(x\) पूर्णांक" का अर्थ है कि \(x\) केवल उन पूर्णांकों में से होगा जो 0,1,2,3 और 4 हैं। इसलिए \(A=\{0,1,2,3,4\}\), जो ठीक \(B\) के बराबर है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\) किसी वास्तविक प्रविष्टि में \(B\) से अलग नहीं है; वे बराबर हैं, इसलिए "आंशिक उपसमुच्चय पर समानता नहीं" सही नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि \(B\subset A\) मात्र सत्य नहीं है—यह दोनों समान्तर हैं (बराबर)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(5\) शर्त \(x<5\) के कारण शामिल नहीं है। परीक्षा युक्ति: जब सेट पर शर्तें हों (जैसे पूर्णांक और असमानता), तो पहले स्पष्ट रूप से समुच्चय के सभी तत्व लिख लें और फिर तुलना करें। / The condition "integer" with \(0\le x<5\) yields only the integers 0,1,2,3,4. Thus \(A=\{0,1,2,3,4\}=B\), so \(A=B\) is correct. Option B is wrong because it claims \(A\) is a proper subset of \(B\); here they are equal, not proper. Option C is incorrect for the same reason (it treats \(B\) as a proper subset). Option D is false because 5 does not satisfy \(x<5\). Exam tip: convert set-builder notation into an explicit list of elements when bounds and integrality are given—this avoids subset/equality mistakes.
