Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
परिभाषा \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\mid 18\}\) का अर्थ है कि \(A\) में 18 के सभी धनात्मक भाजक आते हैं। 18 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 6, 9, 18 — यही सेट \(B\) भी है। अतः \(A=B\) है। गलत विकल्पों का संक्षिप्त कारण: (B) गलत है क्योंकि इसमें सम्मिलित हैं 6, 9 और 18 जो अभाज्य नहीं हैं; (C) गलत है क्योंकि \(B\) और \(A\) में एक ही सदस्य हैं, इसलिए \(B\) समुच्चय का सही उपसमुच्चय परिभाषा नहीं बनता; (D) गलत है क्योंकि 18 निश्चित रूप से 18 का भाजक है और इसलिए \(18\in A\)। परीक्षा-सुझाव: विभाजन-आधारित समुच्चय के लिए दिए गए पूर्णांक के सभी धनात्मक भाजकों को सूचीबद्ध कर लें — इससे तुरंत तुलना हो जाती है। / By definition \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\mid 18\}\) is the set of all positive divisors of 18. The positive divisors of 18 are 1, 2, 3, 6, 9, 18, which is exactly \(B\). Therefore \(A=B\). Why other options fail: (B) is false because 6, 9 and 18 are not prime; (C) is false because \(B\) does not omit any element of \(A\), so it is not a proper subset; (D) is false because 18 divides 18, so \(18\in A\). Exam tip: For sets defined by "\(x\mid n\)", list all positive divisors of \(n\) to compare sets quickly.
(0) को निश्चित रखने पर बाकी तीन अवयव स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय मिलते हैं। निश्चित अवयव को चुनकर बाकी पर गिनती करें। / Fixing (0), the remaining three elements are optional, so there are \(2^3=8\) subsets. For a fixed element, count choices for the remaining elements.
(a) हटाने के बाद चार अवयव बचते हैं और उनसे \(2^4=16\) उपसमुच्चय बनते हैं। निषिद्ध अवयव को पहले बाहर करें। / After excluding (a), four elements remain and they form \(2^4=16\) subsets. Remove the forbidden element first.
समुच्चय में वह सभी पूर्णांक शामिल हैं जो शर्त \(-3\le x<2\) पूरी करते हैं। पूर्णांकों की सूचि में यह मान होंगे \(-3,-2,-1,0,1\) क्योंकि \(-3\) शामिल है पर \(2\) शामिल नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें \(2\) भी शामिल किया गया है, जबकि \(2\) शर्त द्वारा बाहर रखा गया है। परीक्षा टिप: किसी अनिश्चित अन्तराल के लिए पहले असमानता के दोनों छोरों को पढ़ें और केवल उन पूर्णांकों को लिखें जो दोनों शर्तों को पूरा करते हैं। / A contains all integers satisfying \(-3\le x<2\). Listing those integers gives \(-3,-2,-1,0,1\): -3 is included (\(\le\)) but 2 is not included (\(<\)), so option A is correct. The closest distractor C is wrong because it incorrectly includes 2. Exam tip: when given an integer inequality, list integers from the left endpoint to the right, respecting \(\le\) vs \(<\).
A. \(A\subset C\) उचित रूप से/(A) is a proper subset of (C)
Explanation
Simple Explanation
ट्रांजिटिव नियम से \(A\subseteq C\) और \(A\not=C\) होने से (A) उचित उपसमुच्चय है। बीच वाला समुच्चय बराबर भी हो सकता है। / By transitivity \(A\subseteq C\), and since \(A\ne C\), (A) is a proper subset. The middle set may or may not be equal.
धनात्मक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16) हैं और (25) सीमा में शामिल नहीं है। हर शर्त को साथ में लागू करें। / The positive perfect squares are (1,4,9,16), and (25) is not included. Apply every condition together.
किसी भी आकार के उपसमुच्चय में अवयव चुनने के लिए संयोजन लागू होते हैं। चार तत्वों में से ठीक दो चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं, इसलिए उत्तर 6 है। विकल्प (12) गलत है क्योंकि यह क्रमबद्ध चयन (permutation) \(P(4,2)=4\times3=12\) को गिनता है जहाँ (p,q) और (q,p) अलग माने जाते हैं; उपसमुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता। विकल्प (4) और (8) आम गलती हैं — 4 शायद आंशिक जोड़ी गिनने की गलत धारणा है और 8 किसी अन्य गलत विभाजन/गणना से आया होगा। परीक्षा सुझाव: हमेशा यह तय करें कि क्रम मायने रखता है या नहीं — क्रम नहीं रखें तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Use combinations because order does not matter in subsets. The number of ways to choose exactly two elements from four is \(\binom{4}{2}=6\), so the correct answer is 6. Option 12 is incorrect because it counts ordered selections (permutations) \(P(4,2)=4\times3=12\), treating (p,q) and (q,p) as different; subsets do not consider order. Options 4 and 8 arise from mistaken counting methods. Exam tip: first decide whether order matters — if not, apply \(\binom{n}{r}\).
\(\varnothing\) और (1) दोनों (A) के अवयव हैं इसलिए \({\varnothing,1}\) उपसमुच्चय है। (0) और \(\varnothing\) अलग हैं। / Both \(\varnothing\) and (1) are elements of (A), so \({\varnothing,1}\) is a subset. (0) and \(\varnothing\) are different.
(16) के भाजकों में केवल (1) विषम है। नकारात्मक शर्त वाले प्रश्न में हटाए गए अवयवों पर ध्यान दें। / Among the factors of (16), only (1) is odd. In questions with a negative condition, pay attention to the excluded elements.
तीन या अधिक अवयवों की संख्या \(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=16\) है। आकार आधारित गिनती में संयोजन जोड़ें। / The number is \(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=16\). For size based counting, add the combinations.
