Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x^2\leq4\) से \(-2\leq x\leq2\), अतः \(B=[-2,2]\) है। समुच्चय \(A\) में सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए \(A\) और \(B\) का संघ \(-\infty\) से \(2\) तक के सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है। अतः \(A\cup B=( -\infty,2]\)। विकल्प \([-2,2]\) केवल \(B\) है; इसमें \(-2\) से छोटी ऋणात्मक संख्याएँ नहीं हैं। परीक्षा टिप: वर्ग वाली असमता में पहले दोनों ओर वर्गमूल लेकर सीमा-अंतराल लिखें। / From \(x^2\leq4\), we get \(-2\leq x\leq2\), so \(B=[-2,2]\). Set \(A\) contains every negative real number. Therefore, their union contains all real numbers from \(-\infty\) up to and including \(2\): \(A\cup B=( -\infty,2]\). The option \([-2,2]\) represents only \(B\), since it excludes negative numbers less than \(-2\). Exam tip: for a squared inequality, first find the interval satisfying it before performing set operations.
\(A\) में \(-5\) से \(5\) तक के सभी पूर्णांक हैं, जबकि \(B\) में सभी विषम पूर्णांक हैं। अतः दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ तत्व \(-5,-3,-1,1,3,5\) हैं। विकल्प B में सम संख्याएँ हैं और विकल्प D में ऋणात्मक विषम पूर्णांक छूट गए हैं। परीक्षा टिप: प्रतिच्छेद \(A\cap B\) में केवल वे तत्व लिखें जो दोनों समुच्चयों में हों। / Set \(A\) contains all integers from \(-5\) to \(5\), while \(B\) contains all odd integers. Therefore, the elements common to both sets are \(-5,-3,-1,1,3,5\). Option B contains even integers, and option D omits the negative odd integers. Exam tip: In an intersection \(A\cap B\), include only elements that belong to both sets.
(B) हटाने पर (A) में कोई बदलाव नहीं हुआ, इसलिए (A) और (B) में कोई सामान्य तत्व नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\)। / Removing (B) does not change (A), so (A) and (B) have no common element. Thus \(A\cap B=\varnothing\).
यदि कोई तत्व केवल (A) में हो तो वह (A-B) में होगा पर (B-A) में नहीं। समानता के लिए ऐसे तत्व नहीं हो सकते, इसलिए (A=B)। / If an element lies only in (A), it is in (A-B) but not in (B-A). For equality, no such element can exist, so (A=B).
सदैव \(A\cap B\subseteq A\cup B\) होता है। दोनों बराबर तभी हो सकते हैं जब (A) और (B) समान हों। / Always \(A\cap B\subseteq A\cup B\). They can be equal only when (A) and (B) are the same set.
\(A\cap B=\{3\}\), क्योंकि 3 ही दोनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ तत्व है। अतः \(A\cap B\) में 1 तत्व है। किसी \(n\)-तत्वों वाले समुच्चय के घात समुच्चय में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। इसलिए \(|\mathcal{P}(A\cap B)|=2^1=2\)। विकल्प 1 केवल प्रतिच्छेद में मौजूद तत्वों की संख्या बताता है, घात समुच्चय की नहीं। परीक्षा टिप: पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें, फिर घात समुच्चय के लिए \(2^n\) का प्रयोग करें। / \(A\cap B=\{3\}\), because 3 is the only common element of both sets. Thus, \(A\cap B\) has 1 element. The power set of a set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Therefore, \(|\mathcal{P}(A\cap B)|=2^1=2\). Option 1 gives the number of elements in the intersection, not the number of elements in its power set. Exam tip: Find the intersection first, then use \(2^n\) for the size of its power set.
समुच्चयांतर \(A-B\) में वे तत्व आते हैं जो \(A\) में हैं, पर \(B\) में नहीं हैं। अतः \(A-B=\{1,2\}\), जिसमें 2 तत्व हैं। 2 तत्वों वाले समुच्चय के घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होते हैं। विकल्प 2 केवल \(A-B\) के तत्वों की संख्या है, घात समुच्चय के तत्वों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। / The difference \(A-B\) contains elements that belong to \(A\) but not to \(B\). Thus, \(A-B=\{1,2\}\), which has 2 elements. The power set of a set with 2 elements has \(2^2=4\) elements. Option 2 is only the number of elements in \(A-B\), not the number of elements in its power set. Exam tip: a set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets in its power set.
संघ (A-B), (B-A) और \(A\cap B\) के असंबद्ध भागों से बनता है। इसलिए (75=28+31+x), अतः (x=16)। / The union is made of disjoint parts (A-B), (B-A), and \(A\cap B\). So (75=28+31+x), hence (x=16).
यह सममित अंतर है, जिसमें सामान्य तत्व हट जाते हैं। सामान्य तत्व (2,4,6,8) हटाने पर ({1,3,5,7,10}) मिलता है। / This is the symmetric difference, where common elements are removed. Removing common elements (2,4,6,8) gives ({1,3,5,7,10}).
पहचान \(A-(A-B)=A\cap B\) लागू होती है, क्योंकि \(A\) के वे ही अवयव बचते हैं जो \(B\) में भी हों। दिया है कि \(A\cap B=\varnothing\), इसलिए \(A-(A-B)=\varnothing\)। \(A\) विकल्प सही नहीं है, क्योंकि \(A-B=A\) होने पर \(A-A=\varnothing\) मिलता है। परीक्षा टिप: अंतर वाले व्यंजक में पहले देखें कि कौन-से अवयव हटाए जा रहे हैं। / Use the identity \(A-(A-B)=A\cap B\): the elements left in \(A\) are exactly those that also belong to \(B\). Since \(A\cap B=\varnothing\), we get \(A-(A-B)=\varnothing\). Option \(A\) is not correct because, for disjoint sets, \(A-B=A\), so the expression becomes \(A-A=\varnothing\). Exam tip: In set-difference expressions, first identify which elements are removed.
