Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A-B\) में वे तत्व होते हैं जो \(A\) में हों, लेकिन \(B\) में न हों। \(B=(-1,4)\) है, इसलिए \(A\) का \((-1,2]\) भाग हट जाएगा। चूँकि \(-1\), \(B\) में शामिल नहीं है, पर \(A\) में शामिल है, इसलिए \(-1\) उत्तर में रहेगा। अतः \(A-B=[-3,-1]\) है। \((-1,2]\) वास्तव में \(A\cap B\) है। परीक्षा टिप: अंतरालों में खुले और बंद सिरों को अलग से जाँचें। / \(A-B\) contains elements that belong to \(A\) but do not belong to \(B\). Since \(B=(-1,4)\), the portion \((-1,2]\) is removed from \(A\). The point \(-1\) remains because it belongs to \(A\) but not to \(B\). Therefore, \(A-B=[-3,-1]\). Note that \((-1,2]\) is actually \(A\cap B\). Exam tip: always check open and closed endpoints separately when working with intervals.
समुच्चय \(A\cup B\) तीन परस्पर असंपाती भागों से बनता है: केवल \(A\) में स्थित तत्व \(A-B\), केवल \(B\) में स्थित तत्व \(B-A\), तथा दोनों में स्थित तत्व \(A\cap B\)। अतः \(n(A\cup B)=12+9+7=28\)। विकल्प 21 में केवल \(A-B\) और \(B-A\) जोड़े गए हैं, जबकि उभयनिष्ठ 7 तत्व भी संघ में शामिल होते हैं। परीक्षा टिप: वेन आरेख में संघ के सभी अलग-अलग क्षेत्रों को जोड़ें। / The set \(A\cup B\) consists of three mutually disjoint regions: elements only in \(A\), \(A-B\); elements only in \(B\), \(B-A\); and common elements, \(A\cap B\). Therefore, \(n(A\cup B)=12+9+7=28\). Option 21 adds only \(A-B\) and \(B-A\), but the 7 common elements are also included in the union. Exam tip: In a Venn diagram, add every distinct region covered by the union.
केवल गणित (=n(M)-n\(M\cap P\)=34-12=22)। ऐसे प्रश्न में दोनों पढ़ने वालों को केवल वाले भाग से घटाएं। / Only Mathematics (=n(M)-n\(M\cap P\)=34-12=22). In such questions, subtract the common part from the only part.
समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=52+47-21=78\)। अतः \((A\cup B)'\) में वे तत्व होंगे जो \(A\) या \(B\) किसी में भी नहीं हैं। इसलिए \(n\big((A\cup B)'\big)=n(U)-n(A\cup B)=80-78=2\)। विकल्प 78 संघ के तत्वों की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा टिप: संघ निकालते समय उभयनिष्ठ तत्वों को दो बार गिने जाने से बचाने के लिए \(n(A\cap B)\) घटाएँ। / By the inclusion-exclusion principle, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=52+47-21=78\). The set \((A\cup B)'\) contains elements that belong to neither \(A\) nor \(B\). Hence, \(n\big((A\cup B)'\big)=n(U)-n(A\cup B)=80-78=2\). Option 78 is the number of elements in the union, not in its complement. Exam tip: subtract \(n(A\cap B)\) while finding a union so that common elements are not counted twice.
असंबद्ध समुच्चयों के लिए \(A\cap B=\varnothing\) होता है, अर्थात उनका कोई भी तत्व समान नहीं होता। इसलिए संघ में दोनों समुच्चयों के सभी तत्व केवल एक-एक बार गिने जाते हैं: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)=15+19=34\)। विकल्प 4, \(19-15\) से प्राप्त होता है, जो संघ की संख्या नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य स्थिति में \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) लिखें; असंबद्ध समुच्चयों में अंतिम पद शून्य होता है। / For disjoint sets, \(A\cap B=\varnothing\), meaning that they have no common elements. Hence, every element is counted only once in the union: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)=15+19=34\). Option 4 comes from \(19-15\), which does not give the cardinality of the union. Exam tip: use \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\); for disjoint sets, the last term is zero.
संघ में (B) जोड़ने पर (A) नहीं बदलता, इसलिए (B) का हर तत्व (A) में है। अतः \(B\subseteq A\)। / Adding (B) to (A) by union does not change (A), so every element of (B) is in (A). Thus \(B\subseteq A\).
प्रतिच्छेद (B) के बराबर तभी होगा जब (B) का हर तत्व (A) में हो। इसलिए \(B\subseteq A\) है। / The intersection equals (B) only when every element of (B) lies in (A). Hence \(B\subseteq A\).
तीनों समुच्चयों में सामान्य तत्व (3,5,9) हैं। तीन समुच्चयों के प्रतिच्छेद में हर तत्व तीनों में होना चाहिए। / The common elements in all three sets are (3,5,9). In a three-set intersection, each element must be in all three sets.
(A) के सभी विषम अभाज्य (B) में चले जाते हैं, केवल (2) बचता है। (19) भी (B) में है क्योंकि वह विषम और (20) से छोटा है। / All odd primes in (A) are in (B), so only (2) remains. (19) is also in (B) because it is odd and less than (20).
\(B\) के प्रत्येक तत्व का रूप \(4k\) है, और \(4k=2(2k)\) होने से वह \(2\) का गुणज भी है। अतः \(B\) का प्रत्येक तत्व \(A\) में होगा, इसलिए \(B\subseteq A\)। विकल्प \(A\subseteq B\) गलत है क्योंकि \(2\in A\), परंतु \(2\notin B\)। परीक्षा टिप: उपसमुच्चय जाँचने के लिए एक समुच्चय के हर तत्व को दूसरे समुच्चय के नियम से मिलाइए। / Every element of \(B\) is of the form \(4k\), and \(4k=2(2k)\), so it is also a multiple of \(2\). Hence, every element of \(B\) belongs to \(A\), giving \(B\subseteq A\). The relation \(A\subseteq B\) is false because \(2\in A\) but \(2\notin B\). Exam tip: To test a subset relation, check whether every element satisfying one set's rule also satisfies the other set's rule.
