Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
अभाज्य संख्याएँ वे हैं जिनके केवल 1 और स्वयं ही गुणक होते हैं। सम संख्याएँ 2 के गुणज होती हैं। 2 ही एकमात्र ऐसी संख्या है जो दोनों गुणधर्म पूरा करती है — यह सम भी है और अभाज्य भी। इसलिए A \cap B = {2}। निकटतम भ्रम पैदा करने वाली विकल्प C गलत है क्योंकि अन्य सम संख्याएँ (4,6,...) अभाज्य नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: गुणधर्मों पर ध्यान दें — «सम» और «अभाज्य» की परिभाषा तुरंत सही उत्तर बताती है। / Primes have no divisors other than 1 and themselves; even numbers are multiples of 2. The only number that is both prime and even is 2, so A \cap B = {2}. The tempting option C is incorrect because other even numbers like 4,6,... are composite, not prime. Exam tip: recall definitions first — intersection means elements satisfying both properties simultaneously, so look for numbers that meet both definitions.
\(A-(A\cap B)=A\cap (A\cap B)^c\) होता है। डि मॉर्गन से \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\) और इसलिए \(A\cap (A^c\cup B^c)=(A\cap A^c)\cup (A\cap B^c)=\varnothing\cup (A\cap B^c)=A\cap B^c\)। यह वही है जो हम सामान्यतः \(A-B\) लिखते हैं। सबसे नजदीकी विकर्षक विकल्प \(A\cap B\) है, पर वह दोनों का साझा भाग है जिसे हटाया गया है, अतः बचा नहीं रहता। परीक्षा-सुझाव: सेट-घटाव को इंटरसेक्शन व कम्प्लीमेंट में बदल कर सरल करें या वैन आरेख पर छायांकित क्षेत्र बनाकर जाँच करें। / Compute directly: \(A-(A\cap B)=A\cap (A\cap B)^c\). By De Morgan, \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\), so \(A\cap(A^c\cup B^c)=(A\cap A^c)\cup(A\cap B^c)=\varnothing\cup(A\cap B^c)=A\cap B^c\), which is exactly \(A-B\). The closest distractor \(A\cap B\) is the part removed (the common region), not the remainder. Exam tip: convert set difference to intersection with complement or use a Venn diagram to visualise the shaded region quickly.
केवल A का अर्थ है A में आने वाले पर B में न आने वाले विद्यार्थी। इसे निकालने के लिए A का कुल घटाकर A और B के सामान्य भाग को घटाएँ: \(n(A)-n(A\cap B)=72-38=34\)। विकल्प B (27) गलत है — वह संख्या वास्तव में केवल B के बराबर है क्योंकि \(n(B)-n(A\cap B)=65-38=27\)। परीक्षा टिप: Venn आरेख बनाकर पहले intersection घटाएँ ताकि "केवल" वाले भाग स्पष्ट हों। / Only A means elements that are in A but not in B. Compute it by subtracting the intersection from A: \(n(A)-n(A\cap B)=72-38=34\). Option B (27) is incorrect — it equals only B since \(n(B)-n(A\cap B)=65-38=27\). Exam tip: draw a two-set Venn diagram and remove the intersection from each set to find the "only" parts.
ठीक एक में आने वाले तत्व = केवल A में + केवल B में। केवल A में = \(n(A)-n(A\cap B)\), केवल B में = \(n(B)-n(A\cap B)\)। अतः कुल = \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)=60+55-2\times25=65\)। विकल्प B (90) वास्तव में \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=90\) है — यह 'कम से कम एक' के तत्व हैं और इसमें जो तत्व दोनों में हैं वे भी शामिल रहते हैं, इसलिए 'ठीक एक' के बराबर नहीं। विकल्प D (115) में परस्पर सम्मिलन को न घटाने का परिणाम है, और विकल्प C (40) किसी गलत घटाव का परिणाम है। परीक्षा-टिप: Venn आरेख बनाकर पहले केवल A और केवल B वाले हिस्सों का मान निकालें; फिर जोड़ें। / Elements in exactly one set = (only A) + (only B). Only A = \(n(A)-n(A\cap B)\), only B = \(n(B)-n(A\cap B)\). So total = \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)=60+55-2\times25=65\). Option B (90) equals \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=90\), which counts elements in the intersection once and therefore gives 'at least one' not 'exactly one'. Option D (115) ignores intersection altogether, and option C (40) arises from an incorrect subtraction. Exam tip: Draw a two-circle Venn diagram and compute the two 'only' regions separately, then add them.
दो सेटों के लिए संघ के तत्व disjoint क्षेत्रों का योग होते हैं: \(n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B)\)। दिए गए मानों को जोड़ें: \((x+4)+(2x-1)+(x+3)=46\) जिससे \(4x+6=46\) और \(x=10\)। निकटतम गलत विकल्प \(11\) पर रखकर जाँच करें: \(15+21+14=50\) इसलिए वह गलत है। परीक्षा सुझाव: संघ लिखते समय हमेशा disjoint हिस्सों का योग लें और मिला कर समीकरण हल करें। / For two sets, the union equals the sum of the disjoint regions: \(n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B)\). Substitute the given expressions: \((x+4)+(2x-1)+(x+3)=46\) so \(4x+6=46\) and \(x=10\). Check the nearest distractor: for \(x=11\) the sum is \(15+21+14=50\), so it is incorrect. Exam tip: Always express the union as the sum of disjoint parts before forming the equation and verify non-negativity of each region.
ठीक एक का मतलब A में केवल और B में केवल का योग है। A में केवल = 60% − 25% = 35% और B में केवल = 50% − 25% = 25%। अतः ठीक एक = 35% + 25% = 60%. वैकल्पिक रूप से फॉर्मूला: ठीक एक = A + B − 2×(A∩B) = 60 + 50 − 2×25 = 60%. नजदीकी विक्षेपक (85%) यूनियन का मान है (A∪B = A + B − A∩B = 85%), जो दोनों में शामिल विद्यार्थियों को एक बार गिना हुआ है; पर प्रश्न ने दोनों में एक साथ वाले को हटाने के लिए कहा है। परीक्षा सलाह: वैन-डायग्राम बना कर "केवल A" और "केवल B" हिस्से अलग कर लें या फॉर्मूला A + B − 2×(A∩B) याद रखें। / "Exactly one" means students only in A plus those only in B. Only-in-A = 60% − 25% = 35%; only-in-B = 50% − 25% = 25%. So exactly one = 35% + 25% = 60%. Equivalently: exactly one = A + B − 2×(A∩B) = 60 + 50 − 2×25 = 60%. The closest distractor 85% equals the union A∪B (60 + 50 − 25 = 85%), which counts those in both once; the question excludes the shared part. Exam tip: draw a Venn diagram and compute the "only" regions or use A + B − 2×(A∩B).
केंद्रीय विचार: क्षेत्रवार (region-wise) गिनती और यूनियन का सूत्र। पहले \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=35+26=61\)। यूनियन का सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। इसे नष्ट करके \(n(B)=n(A\cup B)-n(A)+n(A\cap B)=88-61+26=53\)। विकल्प (B) = 61 गल्त होगा क्योंकि वह वास्तव में \(n(A)\) है, न कि \(n(B)\)। परीक्षा टिप: हल करते समय हमेशा Venn आरेख पर तीन क्षेत्रों को लेबल करें — \(A-B\), \(A\cap B\), और \(B-A\) — ताकि जोड़-घटाना साफ रहे। / Core idea: count region-wise and use the union formula. First compute \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=35+26=61\). Using \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) we get \(n(B)=n(A\cup B)-n(A)+n(A\cap B)=88-61+26=53\). Option B (61) is a tempting distractor because it equals \(n(A)\), not \(n(B)\). Exam tip: draw a Venn diagram and label regions \(A-B\), \(A\cap B\), \(B-A\) to avoid sign errors.
\(A=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}\) और \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है, इसलिए केवल (4) बचता है। परीक्षा में अंतर निकालते समय पहले दोनों समुच्चय स्पष्ट लिखें। / \(A=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}\) and \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so only (4) remains. In exams, list both sets clearly before taking difference.
पहले (n\(A\cup B\cup C\)=73) मिलता है, फिर (C) के (28) तत्व हटाने पर (45) बचते हैं। ऐसे प्रश्न में पहले पूरा संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\cup C\)=73), then removing (28) elements of (C) leaves (45). In such questions, find the complete union first.
\(A\cup B\) को तीन भागों (A-B), \(A\cap B\) और (B-A) में बांटा जाता है। बचे हुए तत्व (3) और (6) हैं। / \(A\cup B\) is split into (A-B), \(A\cap B\), and (B-A). The remaining elements are (3) and (6).
