Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A−B में वे तत्व होते हैं जो A में हैं पर B में नहीं: \(A-B=\{1,2\}\) जिससे \(n(A-B)=2\)। इसी तरह \(B-A=\{5,6\}\) और \(n(B-A)=2\)। इसलिए \(n(A-B)+n(B-A)=2+2=4\)。 सबसे पास का विकल्प 2 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल एकतरफा अंतर की गिनती जैसा दिखता है; 6 और 8 गलत हैं क्योंकि वे एकतरफा अंतर की वास्तविक गिनती से अधिक मान लेते हैं (उदाहरण: 6 बराबर होगा यदि हम गलती से A∪B की गिनती करें)। परीक्षा युक्ति: सीधे दोनों अंतर सेट लिखकर उनके आकार जोड़ें, या याद रखें कि \(n(A-B)+n(B-A)=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। / Elements in \(A-B\) are in A but not in B: \(A-B=\{1,2\}\) so \(n(A-B)=2\). Elements in \(B-A\) are in B but not in A: \(B-A=\{5,6\}\) so \(n(B-A)=2\). Therefore \(n(A-B)+n(B-A)=2+2=4\). The nearest distractor 2 is incorrect because it counts only one side or half the difference; 6 and 8 are incorrect because they overcount (for example by confusing with union size). Exam tip: list the difference sets explicitly or use \(n(A-B)+n(B-A)=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\) to avoid mistakes.
\(A\cup B\) तीन अलग भागों (A-B), (B-A) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए (n\(A\cap B\)=60-18-22=20)। / \(A\cup B\) is made of three disjoint parts (A-B), (B-A), and \(A\cap B\). Thus (n\(A\cap B\)=60-18-22=20).
A. \(A-B=\{1,4\}\) और यह \(A\) का उपसमुच्चय है/\(A-B=\{1,4\}\) and it is a subset of \(A\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\)। यहाँ \(A\) के वे तत्व जो \(B\) में नहीं हैं वे 1 और 4 हैं, अतः \(A-B=\{1,4\}\)। किसी भी सेट के लिए \(A-B\) हमेशा \(A\) का उपसमुच्चय होता है क्योंकि हम \(A\) के भीतर से कुछ तत्व हटा रहे होते हैं। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \{2,3\} तो \(B\) के तत्व हैं और वे \(A-B\) में नहीं आते; विकल्प (C) तभी सत्य होगा जब \(A\) और \(B\) का कोई समान तत्व न हो; विकल्प (D) तब ही होगा जब \(A\subseteq B\)। परीक्षा-सुझाव: पहले \(A-B\) के लिए \(A\) के हर तत्व की सदस्यता \(B\) में जांच लें — यही तेज और सुरक्षित तरीका है। / By definition \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\). The elements of \(A\) that are not in \(B\) are 1 and 4, so \(A-B=\{1,4\}\). Also, for any sets \(A\) and \(B\), \(A-B\) is always a subset of \(A\) because we remove some (or none) of \(A\)'s elements. Option (B) is incorrect because \{2,3\} are elements of \(B\) and thus not in \(A-B\); (C) would be true only if \(A\cap B=\varnothing\); (D) would hold only if \(A\subseteq B\). Exam tip: check each element of \(A\) against membership in \(B\) to form \(A-B\) quickly and accurately.
A और B का अंतराल वे संख्याएँ हैं जो दोनों 2 और 3 की गुणज हों — अर्थात् LCM(2,3)=6 के गुणज। 1 से 30 तक 6 के गुणज: 6, 12, 18, 24, 30 — कुल 5 संख्याएँ। विकल्प B (10) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह 3 के गुणजों की संख्या \(\lfloor30/3\rfloor=10\) है, न कि दोनों का साझा गुणज। परीक्षा सुझाव: साझा गुणजों के लिए LCM लिये और \(\lfloor n/\text{LCM}\rfloor\) से गिनती निकालें। / Elements in both A and B are multiples of both 2 and 3, so they are multiples of LCM(2,3)=6. Multiples of 6 up to 30 are 6,12,18,24,30 — five elements. Option B (10) equals the count of multiples of 3 (\(\lfloor30/3\rfloor\)), not the intersection. Exam tip: use LCM of the moduli and compute \(\lfloor N/\text{LCM}\rfloor\) to find the count in \(1\) to \(N\).
अभाज्य (prime) संख्या की परिभाषा के अनुसार वह संख्या केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती है। सम (even) संख्याएँ 2 से विभाज्य होती हैं। 2 ही ऐसी एकमात्र संख्या है जो दोनों गुण रखती है — सम भी है और अभाज्य भी। अतः \(A\cap B=\{2\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि प्रतिच्छेद खाली नहीं है; विकल्प C केवल सम संख्याएँ हैं लेकिन उनमें से केवल 2 अभाज्य है; विकल्प D समुच्चय में सम संख्याएँ नहीं हैं। परीक्षा-टिप: अभाज्य-गणना में हमेशा याद रखें कि 1 अभाज्य नहीं है और 2 ही एकमात्र सम अभाज्य है। / By definition a prime number has no divisors other than 1 and itself, and even numbers are divisible by 2. The only number that is both prime and even is 2, so \(A\cap B=\{2\}\). Option B is wrong because the intersection is not empty; option C lists all even numbers but only 2 among them is prime; option D lists odd primes and so cannot be the intersection with even numbers. Exam tip: remember 1 is not prime and 2 is the only even prime — check small examples when in doubt.
कोर कॉन्सेप्ट: किसी सेट का इंटरसेक्शन उस सेट के कुल सदस्यों में से उस सेट के केवल (exclusive) भाग को घटाकर पाया जा सकता है। यहाँ \(n(A\cap B)=n(A)-n(A-B)=48-17=31\)। जांच के लिए दूसरे सेट से भी निकालें: \(n(B)-n(B-A)=52-21=31\), जो मेल खाता है — इसलिए उत्तर 31 सही है। निकटतम भ्रांति (विकल्प 27): यह तब आता है जब गलत तरीके से \(n(B-A)=21\) को \(n(A)\) से घटा दिया जाए (\(48-21=27\)) — यह गलत है क्योंकि वह A के 'केवल B के बाहर' हिस्से को नहीं दिखाता; सही घटाना A−B होना चाहिए। परीक्षा सुझाव: किसी भी एक सेट से ‘‘केवल’’ भाग घटाएँ और परिणाम को दूसरे सेट से भी जाँच कर लें। / Core concept: The intersection size equals a set's total minus the elements that belong only to that set. Compute \(n(A\cap B)=n(A)-n(A-B)=48-17=31\). Verify with B: \(n(B)-n(B-A)=52-21=31\), so results agree and 31 is correct. Closest distractor (27): arises from mistakenly subtracting \(n(B-A)=21\) from \(n(A)\) giving \(48-21=27\); that error swaps the exclusive parts and is incorrect. Exam tip: subtract the 'only' portion (A−B or B−A) from the corresponding total and cross-check using the other set.
\((A\cap B)\) और \((A\cap B^c)\) मिलकर \(A\) का पूर्ण विभाजन बनाते हैं क्योंकि किसी भी \(x\in A\) के लिए या तो \(x\in B\) होगा या \(x\in B^c\) होगा। इसलिए \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\). वैकल्पिक रूप से, वितरणीय नियम से \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\cap(B\cup B^c)=A\cap U=A\). नजदीकी भ्रमित करने वाला विकल्प \(A\cup B\) है जो \(A\) के साथ-साथ \(B\) के अतिरिक्त तत्व भी रखता है इसलिए बड़ा है; \(A\triangle B\) में \(A\cap B\) शामिल नहीं रहता। परीक्षा टिप: किसी भी सेट को \(B\) और \(B^c\) में बाँटकर परखें — यह अक्सर तुरंत पहचान देता है। / \((A\cap B)\) and \((A\cap B^c)\) form a partition of \(A\): for any \(x\in A\), either \(x\in B\) or \(x\in B^c\). Hence \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\). Alternatively use distributivity: \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\cap(B\cup B^c)=A\cap U=A\). The closest misleading choice is \(A\cup B\), which contains extra elements from \(B\) outside \(A\). The symmetric difference \(A\triangle B\) excludes \(A\cap B\), so it cannot equal \(A\). Exam tip: Try splitting a set by \(B\) and its complement to quickly recognize such identities.
\(A\cap B\) में वे तत्व होते हैं जो \(A\) और \(B\) दोनों में हैं। इसलिए \(A-(A\cap B)\) में \(A\) के वे तत्व बचते हैं जो \(B\) में नहीं हैं। यह ठीक \(A\setminus B\) है। विकल्प \(B\setminus A\) गलत है, क्योंकि वह \(B\) के उन तत्वों को दर्शाता है जो \(A\) में नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: वेन आरेख में \(A\) के उस हिस्से को देखें जो साझा क्षेत्र के बाहर है। / The intersection \(A\cap B\) contains elements that belong to both \(A\) and \(B\). Therefore, removing \(A\cap B\) from \(A\) leaves the elements that are in \(A\) but not in \(B\), which is exactly \(A\setminus B\). The distractor \(B\setminus A\) is incorrect because it represents elements in \(B\) but not in \(A\). Exam tip: In the Venn diagram, identify the part of \(A\) outside the overlapping region.
चूंकि \(A\subseteq C\), इसलिए \(C-A\) में वे तत्व होंगे जो \(C\) में हैं पर \(A\) में नहीं। इसका क्रमांक \(n(C-A)=n(C)-n(A)=132-37=95\)। विकल्प (B) का मान \(48\) तब मिलता यदि छात्र ने \(B\) को घटाया हो: \(132-84=48\), पर प्रश्न में \(A\) हटाने के लिए कहा गया है। विकल्प (D) असंभव है क्योंकि किसी उपसमुच्चय का घटाकर प्राप्त मान मूल समुच्चय \(C\) से बड़ा नहीं हो सकता। परीक्षा संकेत: किसी भी विन्न-समस्या में स्पष्ट करें कि किस समुच्चय को हटाया जा रहा है — बस दो संख्या घटाएँ। / Since \(A\subseteq C\), the elements of \(C-A\) are those in \(C\) but not in \(A\). Hence \(n(C-A)=n(C)-n(A)=132-37=95\). Option B (48) comes from subtracting \(B\) from \(C\) (\(132-84=48\)), which is a common mistake here because the question asks to remove \(A\), not \(B\). Option D (169) is impossible because you cannot get a count larger than \(n(C)\) by removing elements. Exam tip: explicitly note which set is being removed and perform the subtraction on those two counts only.
A \cap B में वे संख्याएँ होंगी जो 2 और 3 दोनों से विभाज्य हैं, यानी उनकी LCM = 6 के गुणज। 6 के गुणज जो 36 तक आते हैं: 6,12,18,24,30,36 — कुल 36/6 = 6 संख्या। इसलिए n\(A \cap B\) = 6। सबसे नज़दीकी विकर्षक 12 इस सेट का नहीं क्योंकि 12 वह संख्या है जो केवल 3 के गुणजों की कुल संख्या (36/3 = 12) से जुड़ी है; 18 वह है जो 2 के गुणजों की कुल संख्या (36/2 = 18) दर्शाता है। परीक्षा टिप: किसी दो विभाजकों का समुच्चय निकालते समय उनकी LCM लें और U में उस LCM के गुणजों की गिनती = \lfloor 36/LCM \rfloor करें। / Elements in A \cap B are divisible by both 2 and 3, so they are multiples of LCM(2,3) = 6. Multiples of 6 up to 36 are 6,12,18,24,30,36 — count = 36/6 = 6. Thus n\(A \cap B\) = 6. Closest distractor 12 corresponds to the number of multiples of 3 (36/3 = 12), and 18 corresponds to multiples of 2 (36/2 = 18), so they are not the intersection count. Exam tip: use LCM of divisors and divide the universe maximum by that LCM to get the intersection size quickly.
