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पहले \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(A\cap B=\{2,4\}\) हैं। अब अंतर \((A\cup B)-(A\cap B)\) का मतलब है यूनियन के उन तत्वों को रखें जो इंटरसेक्शन में नहीं हैं; अतः बचते हैं \(\{1,3,5,6\}\)। विकल्प A केवल इंटरसेक्शन है, विकल्प C यूनियन (अंतर नहीं) और विकल्प D खाली सेट है — इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा सुझाव: पहले \(A\cup B\) और \(A\cap B\) अलग से लिखें; फिर यूनियन से इंटरसेक्शन घटाएँ। / Compute first: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(A\cap B=\{2,4\}\). The difference \((A\cup B)-(A\cap B)\) means elements in the union but not in the intersection, giving \(\{1,3,5,6\}\). Option A is just the intersection, C is the full union (not the difference), and D is the empty set — all incorrect. Exam tip: write union and intersection explicitly, then subtract common elements (or remember this is the symmetric difference).
संघ में (A-B), (B-A) और \(A\cap B\) के सभी भाग आते हैं। इन्हें मिलाने पर ({1,2,3,5,7}) मिलता है। / The union contains all parts (A-B), (B-A), and \(A\cap B\). Combining them gives ({1,2,3,5,7}).
समूह A को दो आपस में अलग (disjoint) हिस्सों में बाँटा जा सकता है: \(A - B\) और \(A \cap B\)। चूँकि ये भाग दृश्यमान रूप से विभाज्य हैं, उनके तत्त्वों की संख्या जोड़ कर कुल \(n(A)\) मिलता है। अतः \(n(A)=n(A - B)+n(A \cap B)=13+7=20\). सबसे करीबी भ्रामक विकल्प 6 वह गलती दर्शाता है जहाँ कोई छात्र घटाव कर देता है (\(13-7\)) — यह गलत है क्योंकि हमें दो अलग भागों को जोड़ना होता है। परीक्षा सुझाव: किसी समुच्चय को उसके disjoint हिस्सों में विभाजित करें और हमेशा जोड़ने का नियम प्रयोग करें। / Set A splits into two disjoint parts: \(A - B\) and \(A \cap B\). Because these parts are disjoint, their cardinalities add to give \(n(A)\). Thus \(n(A)=n(A - B)+n(A \cap B)=13+7=20\). The common distractor 6 comes from mistakenly subtracting (\(13-7\)), which is incorrect here. Quick exam tip: partition sets into disjoint pieces and add their cardinalities; use \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)\).
अंग्रेजी के स्वर हैं \(a,e,i,o,u\)। सेट \(A\) में ये पाँचों हैं; सेट \(B\) में दिए हुए अक्षर \(a,b,c,d,e\) हैं। अपवर्तन (intersection) \(A\cap B\) उन तत्वों का समूह है जो दोनों सेटों में सामान्य हों — अर्थात् यहाँ \(a\) और \(e\)। इसलिए उत्तर \(\{a,e\}\) सही है। विकल्प D (\(\{i,o,u\}\)) भी स्वर हैं पर वे \(B\) में नहीं हैं, और विकल्प B तथा C अनुचित क्योंकि B केवल व्यंजन हैं और C में वे व्यंजन शामिल हैं जो \(A\) में नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: पहले दोनों सेटों के तत्व लिखें और फिर सामान्य (common) तत्व चुनें। / English vowels are \(a,e,i,o,u\). Set \(A\) consists of these vowels; set \(B\) is \(\{a,b,c,d,e\}\). The intersection \(A\cap B\) contains elements present in both sets — here \(a\) and \(e\). Thus \(\{a,e\}\) is correct. Option D (\(\{i,o,u\}\)) lists vowels that are not in \(B\); option B lists only consonants and option C incorrectly includes consonants not in \(A\). Exam tip: list elements of each set explicitly, then pick the common ones for the intersection.
प्रथम चरण में सेटों के सदस्य लिखें: \(A=\{2,3,5,7,11,13\}\) और \(B\) में \(x<15\) की विषम संख्याएँ हैं अर्थात् \(B=\{1,3,5,7,9,11,13\}\). सेट अंतर (\(A-B\)) का अर्थ है A में से वे सभी तत्व हटाएँ जो B में भी हैं। A के सभी तत्वों में से \(3,5,7,11,13\) B में भी हैं, केवल \(2\) ही B में नहीं है। इसलिए \(A-B=\{2\}\). नज़दीकी विकल्प \(\{3,5,7,11,13\}\) लम्बे में A∩B है, न कि A-B. परीक्षा सुझाव: पहले दोनों सेटों के सदस्य सूचीबद्ध करें और सामान्य तत्व हटा दें — इससे गलती कम होती है। / List the elements: \(A=\{2,3,5,7,11,13\}\) and \(B=\{1,3,5,7,9,11,13\}\) (odd numbers less than 15). The set difference \(A-B\) contains elements in A that are not in B. Removing common elements \(3,5,7,11,13\) from A leaves only \(2\). Hence \(A-B=\{2\}\). The closest distractor \(\{3,5,7,11,13\}\) is actually \(A\cap B\), not the difference. Exam tip: explicitly write out both sets and cross out common elements to find A−B quickly and avoid sign confusion.
संघ (union) का अर्थ है दोनों सेटों के सभी अलग‑अलग अवयवों का समूह। यहाँ \(A\cup B=\{2,3,5,7,11,13\}\) जो कुल 6 अवयव हैं। इसे गुणित नियम से भी देख सकते हैं: \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=4+4-2=6\). विकल्प A (4) गलत है क्योंकि वह केवल सेट \(A\) के अवयवों की संख्या होगी और सेट \(B\) के अतिरिक्त अवयव \(11,13\) को नहीं गिनता। परीक्षात्मक टिप: संघ की गिनती के लिये सूत्र \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) याद रखें। / Union means all distinct elements appearing in either set. Here \(A\cup B=\{2,3,5,7,11,13\}\), so there are 6 elements. Using the formula: \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=4+4-2=6\). Option A (4) is incorrect because it counts only the elements of \(A\) and omits the extra elements \(11,13\) from \(B\). Exam tip: Use \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) to avoid double counting.
यहाँ \(B\subseteq A\) है, अतः \(A-B\) वे अवयव हैं जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं। \(A\) के ऐसे अवयव \(1,3,5\) हैं, इसलिए उत्तर \(A-B=\{1,3,5\}\) सही है। विकल्प \(B\) गलत है क्योंकि \(B-A=\varnothing\) (क्योंकि \(B\) के सभी तत्व \(A\) में मौजूद हैं)। विकल्प \(C\) भी गलत है — वास्तविक प्रचाेदन \(A\cap B=\{2,4,6\}\) है। विकल्प \(D\) गलत है क्योंकि \(A\cup B= A\), न कि \(B\)। परीक्षा युक्ति: पहले चेक करें कि कोई सेट दूसरे का उपसमूह है या नहीं; फिर अंतर/छेद के लिए सामान्य तत्व हटा दें। / Since \(B\subseteq A\), \(A-B\) consists of elements of \(A\) that are not in \(B\). Those elements are \(1,3,5\), so \(A-B=\{1,3,5\}\) is correct. Option B is incorrect because \(B-A=\emptyset\) when \(B\subseteq A\). Option C is wrong — the intersection is \(A\cap B=\{2,4,6\}\). Option D is false because \(A\cup B=A\), not \(B\). Exam tip: to find \(A-B\) remove all common elements (\(A\cap B\)) from \(A\); first check subset relations to simplify reasoning.
यदि \(A\cup B = A\) है, तो किसी भी \(x\in B\) के लिए \(x\in A\cup B\) होगा। परन्तु \(A\cup B = A\) होने से \(x\in A\) ही मिलता है। इसलिए हर \(x\in B\) भी \(x\in A\) है, अर्थात् \(B\subseteq A\)। विकल्प \(A\subseteq B\) या \(A=B\) अनिवार्य नहीं हैं (उदाहरण: \(A=\{1,2\},\;B=\{1\}\) पर \(A\cup B=A\) परन्तु \(A\neq B\) और \(A\subseteq B\) गलत)। परीक्षा सुझाव: ऐसे सेट-समष्टि निष्कर्षों के लिए तत्व-तरीका अपनाएँ — किसी सर्वत्र तत्व \(x\in B\) को लेकर दिखाएँ कि \(x\in A\) होता है। / From \(A\cup B = A\) take any element \(x\in B\). Then \(x\in A\cup B\), and since \(A\cup B=A\) it follows that \(x\in A\). Hence every element of \(B\) is in \(A\), so \(B\subseteq A\). Statements like \(A\subseteq B\) or \(A=B\) need not hold (counterexample: \(A=\{1,2\}, B=\{1\}\)). Exam tip: use the element-wise method — assume \(x\in B\) and deduce \(x\in A\) to prove subset relations quickly and accurately.
यदि \(U\) सर्वसमुच्चय है तो किसी भी अवयव के बारे में या तो वह \(A\) में होगा या \(A\) में नहीं होगा। जो \(A\) में नहीं हैं वे \(A'\) में होते हैं। इसलिए हर अवयव कम-से-कम एक बार \(A\) या \(A'\) में आता है, अतः उनका संघ पूरा सर्वसमुच्चय \(U\) देता है। विकल्प \(A\) गलत है क्योंकि \(A\cup A'\) में \(A\) के अलावा \(A'\) के अवयव भी आते हैं; \(\varnothing\) भी गलत है क्योंकि संघ सम्भवतः खाली नहीं है। परीक्षा-सूत्र: पूर्णक नियम याद रखें — \(A\cup A' = U\) और \(A\cap A' = \varnothing\)। / By definition of complement (with respect to the universal set \(U\)), every element of \(U\) is either in \(A\) or in its complement \(A'\). Thus every element of \(U\) belongs to \(A\cup A'\), so the union equals \(U\). Option \(A\) is incorrect because the union contains elements outside \(A\) as well; the empty set is incorrect because the union cannot be empty if \(U\) has elements. Quick exam tip: memorize the complement laws — \(A\cup A' = U\) and \(A\cap A' = \varnothing\).
कोई अवयव एक साथ (A) और (A') दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए प्रतिच्छेद \(\varnothing\) है। / No element can be in both (A) and (A') at the same time. Therefore the intersection is \(\varnothing\).
