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समुच्चयों में प्रतिच्छेद, संघ पर वितरित होता है। अतः \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)। विकल्प B सही वितरण नियम का रूप है, लेकिन वह \(A\cup(B\cap C)\) के बराबर होता है, न कि दिए गए व्यंजक के। परीक्षा टिप: \(\cap\) को पहले कोष्ठक के भीतर के दोनों समुच्चयों पर अलग-अलग लगाकर वितरण नियम याद रखें। / Intersection distributes over union in sets. Therefore, \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\). Option B is a valid distributive identity, but it is equal to \(A\cup(B\cap C)\), not to the given expression. Exam tip: distribute \(\cap\) to each set inside the union bracket.
समुच्चयों के लिए संघ, प्रतिच्छेद पर वितरित होता है: \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B वास्तव में \(A\cap(B\cup C)\) के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-टिप: वितरण नियम में संघ और प्रतिच्छेद की भूमिकाओं को ध्यान से पहचानें। / For sets, union distributes over intersection: \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\). Therefore, option A is correct. Option B represents \(A\cap(B\cup C)\), not the given expression. Exam tip: carefully track which operation is distributed and which operation appears inside the parentheses.
यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\le 15\}\), \(B=\{x\in\mathbb{N}:3\mid x\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{N}:5\mid x\}\) हैं, जहाँ \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\), तो \(A\cap(B\cup C)\) का मान क्या है?
पहले \(B\cup C\) में वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ आती हैं जो 3 या 5 से विभाज्य हैं। \(A\) के कारण केवल 15 तक की संख्याएँ ली जाएँगी। अतः 3 के गुणज \(3,6,9,12,15\) और 5 के गुणज \(5,10,15\) मिलाकर \(\{3,5,6,9,10,12,15\}\) प्राप्त होता है। विकल्प C केवल 3 के गुणज और विकल्प D केवल 5 के गुणज देता है। परीक्षा-युक्ति: \(B\cup C\) में “या” तथा \(A\cap\cdots\) में A की सीमा दोनों लागू करें। / The set \(B\cup C\) contains all natural numbers divisible by 3 or by 5. Since we intersect with \(A\), only numbers up to 15 are considered. The multiples of 3 are \(3,6,9,12,15\), and the multiples of 5 are \(5,10,15\); their union is \(\{3,5,6,9,10,12,15\}\). Option C lists only multiples of 3, while option D lists only multiples of 5. Exam tip: in \(B\cup C\), “or” means include both groups, and the intersection with \(A\) imposes the upper limit of 15.
जो संख्याएं (2) और (3) दोनों से विभाज्य हैं, वे (6) से विभाज्य हैं। (30) तक ऐसी संख्याएं ({6,12,18,24,30}) हैं। / Numbers divisible by both (2) and (3) are divisible by (6). Up to (30), these are ({6,12,18,24,30}).
पहले B ∩ C ज्ञात करें। दोनों समुच्चयों में केवल 3 समान है, इसलिए B ∩ C = {3}। अब A − {3} का अर्थ A में से 3 को हटाना है, जिससे {1, 2, 4, 5} प्राप्त होता है। विकल्प D में 3 को हटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: जब कोष्ठक हों, तो पहले अंदर का प्रतिच्छेद निकालकर फिर समुच्चय का अंतर ज्ञात करें। / First find B ∩ C. The only common element of B and C is 3, so B ∩ C = {3}. Therefore, A − {3} means removing 3 from A, giving {1, 2, 4, 5}. Option D is incorrect because it does not remove 3. Exam tip: Evaluate the operation inside the parentheses first, then apply set difference.
समुच्चय \(A\) में \(-4\) से \(4\) तक के सभी पूर्णांक हैं। शर्त \(x^2\ge 9\) का अर्थ है \(|x|\ge 3\), इसलिए \(A\) के भीतर इसके अनुकूल मान \(-4,-3,3,4\) हैं। अतः \(A\cap B=\{-4,-3,3,4\}\)। विकल्प B में \(-4\) और \(4\) छूट गए हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\ge a^2\) को \(|x|\ge a\) के रूप में पहचानें। / Set \(A\) contains all integers from \(-4\) to \(4\). The condition \(x^2\ge 9\) is equivalent to \(|x|\ge 3\), so the values in \(A\) satisfying it are \(-4,-3,3,4\). Therefore, \(A\cap B=\{-4,-3,3,4\}\). Option B is incomplete because it omits \(-4\) and \(4\). Exam tip: Recognize \(x^2\ge a^2\) as \(|x|\ge a\).
A. (A) के अंदर (B) और (C) समान व्यवहार करते हैं/(B) and (C) behave the same inside (A)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए दोनों भाग (A) के भीतर (B) और (C) की सदस्यता को समान बनाते हैं। (A) के बाहर (B) और (C) अलग हो सकते हैं। / The two given parts make membership of (B) and (C) the same inside (A). Outside (A), (B) and (C) may differ.
\(A\cap B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\) है और (C) के सम तत्व हटते हैं। इसलिए विषम तत्व ({-3,-1,1,3}) बचते हैं। / \(A\cap B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\), and the even elements of (C) are removed. Hence the remaining odd elements are ({-3,-1,1,3}).
\(B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है, इसलिए (A-B={-7,-6,-5,5,6,7}) होगा। इनमें (3) से विभाज्य तत्व ({-6,6}) हैं। / \(B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\), so (A-B={-7,-6,-5,5,6,7}). The elements divisible by (3) are ({-6,6}).
संघ तीन अलग भागों (A-B), \(A\cap B\) और (B-A) से बनता है। दिए गए केवल वाले भाग हटाने पर ({4,8,12}) बचता है। / The union is made of three disjoint parts (A-B), \(A\cap B\), and (B-A). Removing the given only-parts leaves ({4,8,12}).
