Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{0}\), परिसर ({-1,1})/Domain \(\mathbb{R}\setminus{0}\), range ({-1,1})
Explanation
Simple Explanation
हर (|x|) शून्य नहीं होना चाहिए इसलिए \(x\ne 0\) है। धनात्मक (x) पर मान (1) और ऋणात्मक (x) पर (-1) मिलता है। / The denominator (|x|) must be non-zero, so \(x\ne 0\). Positive (x) gives (1), and negative (x) gives (-1).
\(x^2+4x+4=(x+2)^2\), इसलिए \(f(x)=\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|\)। इसका न्यूनतम मान \(0\) है, जो \(x=-2\) पर प्राप्त होता है, और इसके बाद यह कोई भी गैर-ऋणात्मक मान ले सकता है। अतः परिसर \([0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलकर उसका न्यूनतम मान जाँचें। / Since \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), we get \(f(x)=\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|\). Its minimum value is \(0\), attained at \(x=-2\), and it can take every non-negative value thereafter. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes \(0\). Exam tip: Rewrite the expression under the square root as a perfect square and identify its minimum value.
((x-2)2\ge 0) इसलिए मूल के अंदर न्यूनतम (7) है। वर्गमूल लेने पर न्यूनतम \(\sqrt{7}\) होगा। / Because ((x-2)2\ge 0), the minimum inside the root is (7). Taking the square root gives minimum \(\sqrt{7}\).
हर (|x+1|+2) का न्यूनतम (2) है और यह अनंत तक बढ़ सकता है। इसलिए फलन (0) से बड़ा और \(\frac{1}{2}\) तक है। / The denominator (|x+1|+2) has minimum (2) and can grow without bound. Thus the function is greater than (0) and at most \(\frac{1}{2}\).
मान लें (t=|x|), तब \(t\ge 0\) और \(f=\frac{t}{t+1}\) है। (t=0) पर (0) मिलता है और (t) बढ़ने पर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं मिलता। / Let (t=|x|), so \(t\ge 0\) and \(f=\frac{t}{t+1}\). At (t=0) the value is (0), and as (t) grows it approaches (1) but never reaches it.
(f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) और \(x^2+2\ge 2\) है। इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) है और (1) प्राप्त नहीं होता। / Here (f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) and \(x^2+2\ge 2\). Thus the minimum is \(\frac{1}{2}\) and (1) is not attained.
फलन को \(f(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\) लिखें। क्योंकि \(x^2\geq 0\), इसलिए \(x^2+1\geq 1\) और \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq 3\)। अतः \(1<f(x)\leq 4\), इसलिए परास \((1,4]\) है। \(x=0\) पर \(f(x)=4\) मिलता है, इसलिए 4 शामिल है। \(1\) केवल \(|x|\to\infty\) होने पर निकट आता है, किसी वास्तविक \(x\) पर प्राप्त नहीं होता; इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा टिप: परास में प्रत्येक endpoint के लिए जाँचें कि वह वास्तव में प्राप्त होता है या केवल निकट आता है। / Rewrite the function as \(f(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\). Since \(x^2\geq 0\), we have \(x^2+1\geq 1\), so \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq 3\). Hence \(1<f(x)\leq 4\), giving the range \((1,4]\). The value \(4\) is attained at \(x=0\), so it is included. The value \(1\) is approached only as \(|x|\to\infty\) and is never attained for real \(x\), so option B is incorrect. Exam tip: always test whether a range endpoint is attained or merely approached.
वास्तविक मान के लिए प्रत्येक वर्गमूल के अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x-2\ge 0\), अर्थात \(x\ge 2\), और \(x-8\ge 0\), अर्थात \(x\ge 8\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(x\ge 8\) है, इसलिए प्रांत \([8,\infty)\) होगा। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=8\) पर फलन परिभाषित है और 8 को शामिल किया जाना चाहिए। परीक्षा-टिप: कई मूलों वाले फलन का प्रांत सभी मूलों की शर्तों के प्रतिच्छेद से निर्धारित करें। / For a real-valued function, the expression inside each square root must be non-negative. Thus, \(x-2\ge 0\) gives \(x\ge 2\), and \(x-8\ge 0\) gives \(x\ge 8\). Their intersection is \(x\ge 8\), so the domain is \([8,\infty)\). Option D is incorrect because the function is defined at \(x=8\), so 8 must be included. Exam tip: For a function containing multiple radicals, find the domain by taking the intersection of all the resulting conditions.
अंश के लिए \(x+2\ge 0\) और हर के लिए (7-x>0) चाहिए। इसलिए प्रांत ([-2,7)) है। / The numerator requires \(x+2\ge 0\), and the denominator requires (7-x>0). Therefore the domain is ([-2,7)).
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge0\) और \(5-x\ge0\) होना चाहिए। परीक्षा में संयुक्त शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots require \(x-2\ge0\) and \(5-x\ge0\). In exams take the intersection of all conditions.
