Practice focused topic-wise MCQs with answers and explanations for quick revision and exam preparation.
Difficulty select karke sirf is topic ke focused MCQs practice karein. Score, timer aur explanations student-friendly flow me milenge.
Showing 401-410 of 712 questions.
What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{4-x})?
A. ((-1,4])
पहले भाग से (x+1>0) और दूसरे से \(4-x\ge 0\) चाहिए। अतः संयुक्त प्रांत ((-1,4]) है। / The first part requires (x+1>0), and the second requires \(4-x\ge 0\). Hence the combined domain is ((-1,4]).
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{\frac{x+3}{2-x}})?
A. ([-3,2))
\(\frac{x+3}{2-x}\ge 0\) और \(x\ne 2\) चाहिए। शून्य अंश से आ सकता है पर हर से नहीं। / We need \(\frac{x+3}{2-x}\ge 0\) and \(x\ne 2\). Zero may come from the numerator but not from the denominator.
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If \(f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}\), what is its domain?
A. \(\mathbb{R}\setminus\{1,-2\}\)
परिमेय फलन में प्रत्येक हर शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ \(x-1=0\) से \(x=1\) और \(x+2=0\) से \(x=-2\) प्राप्त होता है; इसलिए ये दोनों मान प्रांत से बाहर होंगे। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{1,-2\}\) है। विकल्प B में \(-2\) के स्थान पर गलत रूप से \(2\) लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: हर को शून्य करने वाले सभी \(x\)-मानों को हमेशा हटाएँ। / In a rational function, every denominator must be non-zero. Here, \(x-1=0\) gives \(x=1\), and \(x+2=0\) gives \(x=-2\); hence both values must be excluded from the domain. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{1,-2\}\). Option B incorrectly changes \(-2\) to \(2\). Exam tip: set each denominator equal to zero and exclude all resulting values from the real numbers.
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What is the domain of (f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-5})?
A. ([1,5)\cup\(5,\infty\))
\(\sqrt{x-1}\) के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। दोनों शर्तें साथ लागू करें। / The square root requires \(x\ge 1\), and the denominator requires \(x\ne 5\). Apply both conditions together.
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If \(f(x)=\sqrt{x^2+6x+8}\), what is its domain?
A. \(( -\infty,-4]\cup[-2,\infty)\)
वर्गमूल का मान वास्तविक होने के लिए उसके भीतर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। \(x^2+6x+8=(x+4)(x+2)\) है, इसलिए \((x+4)(x+2)\ge 0\) हल करने पर \(x\le -4\) या \(x\ge -2\) मिलता है। अतः प्रांत \(( -\infty,-4]\cup[-2,\infty)\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(-4\) और \(-2\) के बीच गुणनफल ऋणात्मक होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के लिए पहले मूल के भीतर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखकर चिन्ह-रेखा बनाइए। / For the square root to be real, the radicand must be non-negative. Since \(x^2+6x+8=(x+4)(x+2)\), we solve \((x+4)(x+2)\ge 0\). This gives \(x\le -4\) or \(x\ge -2\). Hence, the domain is \(( -\infty,-4]\cup[-2,\infty)\). Option B is incorrect because the product is negative between \(-4\) and \(-2\). Exam tip: For a radical function, require the expression inside the root to be at least zero and use a sign chart.
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Which value is not in the domain of (f(x)=\frac{1}{x-2-5x+6})?
A. (x=2)
हर (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है इसलिए (x=2) और (x=3) हटते हैं। विकल्पों में केवल (x=2) दिया है। / The denominator (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so (x=2) and (x=3) are excluded. Among the options, only (x=2) appears.
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If (f(x)=\frac{3}{x-2+2x+5}), what is the maximum value of (f)?
A. \(\frac{3}{4}\)
हर (x-2+2x+5=(x+1)2+4) का न्यूनतम मान (4) है। धनात्मक भिन्न का अधिकतम हर के न्यूनतम पर मिलता है। / The denominator (x-2+2x+5=(x+1)2+4) has minimum value (4). A positive fraction is maximum when its denominator is minimum.
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If \(f(x)=\frac{2}{(x+3)^2+1}-4\) is defined for all real numbers, what is its range?
A. \((-4,-2]\)
चूँकि \((x+3)^2\ge 0\), इसलिए \((x+3)^2+1\ge 1\)। अतः \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\)। \(x=-3\) पर भिन्न का अधिकतम मान \(2\) है, इसलिए \(f(x)\) का अधिकतम मान \(-2\) होता है और यह प्राप्त होता है। जब \(|x|\to\infty\), तब भिन्न \(0\) के निकट जाता है, इसलिए \(f(x)\) \(-4\) के निकट जाता है, पर कभी \(-4\) नहीं होता। इसलिए परिसर \((-4,-2]\) है। विकल्प B में \(-4\) को शामिल किया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले पद का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करके हर और फिर फलन की सीमा निर्धारित करें। / Since \((x+3)^2\ge 0\), we get \((x+3)^2+1\ge 1\). Hence, \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\). At \(x=-3\), the fraction attains its maximum value \(2\), so \(f(x)\) attains the maximum value \(-2\). As \(|x|\to\infty\), the fraction approaches \(0\), so \(f(x)\) approaches \(-4\) but never equals it. Therefore, the range is \((-4,-2]\). Option B is incorrect because it includes \(-4\). Exam tip: For expressions involving a squared term in the denominator, first find the minimum possible denominator.
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What is the range of (f(x)=|x+2|-|x-2|)?
A. ([-4,4])
टुकड़ों में देखने पर \(x\le -2\) पर मान (-4), \(x\ge 2\) पर (4), और बीच में (2x) मिलता है। इसलिए सभी मान ([-4,4]) आते हैं। / Piecewise checking gives (-4) for \(x\le -2\), (4) for \(x\ge 2\), and (2x) between them. Hence all values in ([-4,4]) occur.
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What is the minimum value of (f(x)=|x-1|+|x+3|)?
A. (4)
दो बिंदुओं (1) और (-3) के बीच की दूरी (4) है। निरपेक्ष मानों के योग का न्यूनतम अक्सर दूरी से मिलता है। / The distance between the points (1) and (-3) is (4). The minimum sum of absolute distances often equals the distance between fixed points.
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