Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
विकल्प A में \(x^2\ge0\) रखने पर \(t=x^2\) के लिए \(f=\frac{t}{1+t}\) मिलता है। यह 0 से शुरू होकर 1 के निकट जाता है, पर 1 नहीं बनता। विकल्प C का परास \((0,1]\) है। परीक्षा में हर के शून्य होने की जाँच पहले करें। / For option A, put \(t=x^2\ge0\); then \(f=\frac{t}{1+t}\). It starts at 0 and approaches 1 without attaining it, so the range is \([0,1)\). Option C instead has range \((0,1]\). Exam tip: first check whether any denominator can be zero.
A. प्रांत \([1,\infty\)), परिसर \([3,\infty\))/Domain \([1,\infty\)), range \([3,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
\(x-1\ge 0\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\) से उत्तर मिलता है। अंदर का प्रतिबंध प्रांत देता है और बाहर का जोड़ परिसर बदलता है। / The conditions \(x-1\ge 0\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\) give the answer. The inside restriction gives the domain, and the outside shift changes the range.
A. प्रांत (\(-\infty,4]\), परिसर \([1,\infty\))/Domain (\(-\infty,4]\), range \([1,\infty\))
Explanation
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\(4-x\ge 0\) से \(x\le 4\) और \(\sqrt{4-x}\ge 0\) से परिसर \([1,\infty\)) है। सीमा पर बराबरी जांचना जरूरी है। / From \(4-x\ge 0\), \(x\le 4\), and \(\sqrt{4-x}\ge 0\), the range is \([1,\infty\)). Checking equality at endpoints is important.
हर में \(\sqrt{x+2}\) है इसलिए (x+2>0) चाहिए। बाहर जोड़ा गया (5) प्रांत को नहीं बदलता। / The denominator contains \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. The outside addition (5) does not change the domain.
हर (x-2-6x+10=(x-3)2+1) है इसलिए कम से कम (1) है। अतः व्युत्क्रम (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / The denominator (x-2-6x+10=(x-3)2+1) is at least (1). Therefore the reciprocal is greater than (0) and at most (1).
हर का न्यूनतम मान (4) है इसलिए अधिकतम फलन मान \(\frac{1}{4}\) है। बड़े हर पर फलन (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता। / The denominator has minimum value (4), so the maximum function value is \(\frac{1}{4}\). For large denominators the function approaches (0) but never becomes (0).
वास्तविक मानों के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(-3\le x\le 3\\)। अतः \(\sqrt{9-x^2}\) का मान \[0,3\] में होता है। यदि \(y=\\sqrt{9-x^2}\), तो \(f(x)=2-y\), इसलिए इसका परास \\[2-3,2-0\\]=\\[-1,2\\] है। विकल्प B में घटाने के बजाय जोड़ने जैसा परिणाम आता है; endpoints को शामिल करना न भूलें। / For real values, \(9-x^2\\ge 0\), so \(-3\\le x\le 3\). Hence \(\\sqrt{9-x^2}\) takes every value in \[0,3\]. Letting \(y=\\sqrt{9-x^2}\), we have \(f(x)=2-y\), so the range is \[2-3,2-0\\]=\[-1,2\]. Option B would result from adding rather than subtracting, and both endpoints must be included.
(f(x)=x+1) है पर (x=1) अनुमत नहीं है इसलिए (y=2) नहीं मिलेगा। सरलीकरण के बाद हटाए गए प्रांत मान का प्रभाव जरूर देखें। / Here (f(x)=x+1), but (x=1) is not allowed, so (y=2) is not obtained. After simplification, always track excluded domain values.
\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) होने पर, \(x\ne2\) के लिए \(f(x)=x+2\)। यदि \(x=2\) अनुमत होता, तो \(f(x)=4\) मिलता; लेकिन \(x=2\) डोमेन से हटाया गया है, इसलिए \(4\) परास में नहीं आ सकता। दूसरी ओर, प्रत्येक \(y\ne4\) के लिए \(x=y-2\ne2\) लेकर \(f(x)=y\) प्राप्त होता है। अतः परास \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\) है। परीक्षा-युक्ति: सरलीकरण के बाद मूल फलन में प्रतिबंधित मान से बनने वाला आउटपुट अवश्य जाँचें। / Since \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), for \(x\ne2\) we have \(f(x)=x+2\). The value \(4\) would occur only when \(x=2\), but that input is excluded from the domain. Conversely, for every \(y\ne4\), choosing \(x=y-2\ne2\) gives \(f(x)=y\). Hence the range is \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\). Exam tip: after simplifying a rational function, check whether an excluded input removes a corresponding output value.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+3\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) साथ-साथ चाहिए। संयुक्त शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots require \(x+3\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) simultaneously. Take the intersection of the conditions.
