Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
घन फलन \(f(x)=x^3\) में किसी भी वास्तविक संख्या का घन परिभाषित होता है; इसमें हर, वर्गमूल या लघुगणक जैसी कोई पाबंदी नहीं है। इसलिए इसका डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ है। विकल्प B और C अनावश्यक रूप से ऋणात्मक संख्याओं तथा शून्य को बाहर कर देते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद फलनों का डोमेन हमेशा सभी वास्तविक संख्याएँ होता है। / For the cubic function \(f(x)=x^3\), the cube of every real number is defined; there is no denominator, square root, or logarithm imposing a restriction. Hence, its domain is all real numbers. Options B and C unnecessarily exclude negative numbers or zero. Exam tip: the domain of every polynomial function is all real numbers.
यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{0,1,2\}\) हों तथा \(f:A\to B\) इस प्रकार परिभाषित हो कि \(f(x)\), \(x\) को 2 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल हो, तो \(f\) का परास (range) क्या होगा?
डोमेन \(A\) के लिए \(f(1)=1\), \(f(2)=0\) और \(f(3)=1\) हैं। इसलिए प्राप्त मान केवल 0 और 1 हैं, अतः \(f\) का परास \(\{0,1\}\) है। विकल्प C सह-परास \(B\) है, परंतु परास केवल वे मान होते हैं जो वास्तव में प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए डोमेन के प्रत्येक अवयव का फलन-मान निकालकर अलग-अलग मानों का समुच्चय बनाइए। / For the elements of \(A\), we get \(f(1)=1\), \(f(2)=0\), and \(f(3)=1\). Thus, the only values actually obtained are 0 and 1, so the range of \(f\) is \(\{0,1\}\). Option C is the codomain \(B\), not the range, because 2 is not attained by the function. Exam tip: To find a range, evaluate the function for every element of the domain and list only the distinct outputs.
A के प्रत्येक अवयव का मान ज्ञात करें: f(1) = 2(1) − 1 = 1, f(2) = 3 और f(3) = 5। इसलिए f का परिसर {1, 3, 5} है। विकल्प B सहपरिसर (codomain) है, जबकि परिसर केवल वास्तव में प्राप्त मानों का समुच्चय होता है। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए domain के सभी अवयवों पर फलन लागू करके प्राप्त मानों को लिखें। / Evaluate the function for every element of A: f(1) = 2(1) − 1 = 1, f(2) = 3, and f(3) = 5. Hence, the range of f is {1, 3, 5}. Option B is the codomain, not the range; the range contains only the values actually attained by the function. Exam tip: apply the function rule to every element of the given domain.
किसी संबंध या फलन का प्रांत उसके क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय होता है। यहाँ प्रथम घटक 2, 4, 6 और 8 हैं, इसलिए प्रांत \(\{2,4,6,8\}\) है। विकल्प A वास्तव में द्वितीय घटकों का समुच्चय, अर्थात् परिसर, है। परीक्षा में प्रांत ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का पहला अवयव लें। / The domain of a relation or function is the set of first components of its ordered pairs. Here, the first components are 2, 4, 6, and 8, so the domain is \(\{2,4,6,8\}\). Option A is the set of second components, which represents the range. Exam tip: take the first entry from every ordered pair to find the domain.
डोमेन के प्रत्येक मान के लिए \(f(1)=4\), \(f(2)=3\), \(f(3)=2\) और \(f(4)=1\) प्राप्त होता है। इसलिए प्राप्त सभी प्रतिबिंबों का समुच्चय \(\{1,2,3,4\}\) है, जो इस फलन का परास है। विकल्प C में 1 छूट गया है और विकल्प B में 4 छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए डोमेन के प्रत्येक अवयव की image निकालकर अलग-अलग मानों का समुच्चय बनाइए। / For every element of the domain, \(f(1)=4\), \(f(2)=3\), \(f(3)=2\), and \(f(4)=1\). Thus, the set of all images is \(\{1,2,3,4\}\), which is the range of the function. Option C omits 1, while option B omits 4. Exam tip: To find the range, evaluate the function for every element of the domain and collect the distinct output values.
वर्गमूल से \(x\ge 3\) और हर से \(x\ne 5\) चाहिए। परीक्षा में सभी प्रतिबंधों का प्रतिच्छेद लें। / The square root gives \(x\ge 3\) and the denominator gives \(x\ne 5\). In exams take the intersection of all restrictions.
वर्गमूल के लिए \(2x-1\ge 0\) से \(x\ge \frac{1}{2}\) मिलता है। (x=-4) इस अंतराल में नहीं है, इसलिए अलग से हटाने की जरूरत नहीं है। / The square root needs \(2x-1\ge 0\), so \(x\ge \frac{1}{2}\). Since (x=-4) is not in this interval, it need not be removed separately.
वर्गमूल के लिए \(x^2-16\ge 0\), यानी \(x^2\ge 16\)। परीक्षा में \(x^2\ge a^2\) से बाहरी अंतराल मिलते हैं। / The square root needs \(x^2-16\ge 0\), that is \(x^2\ge 16\). In exams \(x^2\ge a^2\) gives the outer intervals.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-25>0\) चाहिए। परीक्षा में हर वाले वर्गमूल के लिए बराबरी शामिल न करें। / The square root is in the denominator, so \(x^2-25>0\) is required. In exams do not include equality for a denominator square root.
मूल हर (x-2-4=(x-2)(x+2)) है, इसलिए \(x\ne -2,2\)। परीक्षा में काटने से पहले मूल हर के शून्य हटाएं। / The original denominator is (x-2-4=(x-2)(x+2)), so \(x\ne -2,2\). In exams remove zeros of the original denominator before cancellation.
