यदि (A) और (B) बराबर समुच्चय हैं, तो कौन सा निष्कर्ष अनिवार्य है?
If (A) and (B) are equal sets, which conclusion is necessary?
#sets
#equal-sets
#cardinality
#concept
A (A) और (B) के अवयवों की संख्या समान है / (A) and (B) have the same number of elements
B (A) और (B) की लिखने की विधि समान है / (A) and (B) are written in the same form
C (A) और (B) दोनों अपरिमित ही होंगे / both (A) and (B) must be infinite
D (A) और (B) दोनों रिक्त ही होंगे / both (A) and (B) must be empty
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Correct Answer
A. (A) और (B) के अवयवों की संख्या समान है / (A) and (B) have the same number of elements
Step 1
Concept
बराबर समुच्चयों में प्रत्येक अवयव समान होता है। / Equal sets contain exactly the same elements.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनके अवयवों की संख्या भी समान होगी। / Therefore they must have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
समान संख्या पर्याप्त नहीं, पर बराबर समुच्चय होने पर संख्या अवश्य समान होती है। / Equal size alone is not sufficient, but equality always implies equal size.
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कौन सा उदाहरण दिखाता है कि समान अवयव-संख्या होने पर भी समुच्चय बराबर होना आवश्यक नहीं?
Which example shows that sets with the same number of elements need not be equal?
#sets
#equal-sets
#cardinality
#common-mistake
A ({1,2}) और ({2,1}) / ({1,2}) and ({2,1})
B ({1,2}) और ({3,4}) / ({1,2}) and ({3,4})
C \(\varnothing\) और ({}) / \(\varnothing\) and ({})
D ({a,b}) और ({b,a,a}) / ({a,b}) and ({b,a,a})
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Correct Answer
B. ({1,2}) और ({3,4}) / ({1,2}) and ({3,4})
Step 1
Concept
दोनों समुच्चयों में (2) अवयव हैं। / Both sets have (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ({1,2}) और ({3,4}) के अवयव अलग हैं, इसलिए वे बराबर नहीं हैं। / But ({1,2}) and ({3,4}) contain different elements, so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
बराबरी के लिए संख्या नहीं, अवयवों की समानता निर्णायक है। / Equality depends on elements, not just on count.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{R}:x=x+1}\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct for the set \(A={x\in\mathbb{R}:x=x+1}\)?
#sets
#empty-set
#equation
#reasoning
A यह सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है / it is the set of all real numbers
B यह ({1}) है / it is ({1})
C यह रिक्त समुच्चय है / it is the empty set
D यह ({0}) है / it is ({0})
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Correct Answer
C. यह रिक्त समुच्चय है / it is the empty set
Step 1
Concept
समीकरण (x=x+1) से (0=1) मिलेगा, जो असत्य है। / The equation (x=x+1) gives (0=1), which is false.
Step 2
Why this answer is correct
कोई वास्तविक संख्या इसे पूरा नहीं कर सकती। / No real number can satisfy it.
Step 3
Exam Tip
असंभव समीकरण से रिक्त समुच्चय बनता है। / An impossible equation gives an empty solution set.
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कौन सा समुच्चय वास्तविक संख्या-रेखा पर अपरिमित है?
Which set is infinite on the real number line?
#sets
#infinite-set
#real-numbers
#interval
A \({x\in\mathbb{R}:x=2}\)
B \({x\in\mathbb{R}:2<x<3}\)
C \({x\in\mathbb{Z}:2<x<3}\)
D \({x\in\mathbb{N}:x^2=4}\)
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Correct Answer
B. \({x\in\mathbb{R}:2<x<3}\)
Step 1
Concept
(2) और (3) के बीच अनगिनत वास्तविक संख्याएँ होती हैं। / There are infinitely many real numbers between (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \({x\in\mathbb{R}:2<x<3}\) अपरिमित है। / Hence \({x\in\mathbb{R}:2<x<3}\) is infinite.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक अंतराल और पूर्णांक अंतराल को अलग-अलग समझें। / Distinguish real intervals from integer intervals.
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कौन सा युग्म बराबर समुच्चय नहीं बनाता?
Which pair does not form equal sets?
#sets
#equal-sets
#domain
#integer-solutions
A \({x\in\mathbb{N}:x^2=16}\) और ({4}) / \({x\in\mathbb{N}:x^2=16}\) and ({4})
B \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) और ({-4,4}) / \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) and ({-4,4})
C \({x\in\mathbb{N}:x<4}\) और ({1,2,3}) / \({x\in\mathbb{N}:x<4}\) and ({1,2,3})
D \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) और ({4}) / \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) and ({4})
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Correct Answer
D. \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) और ({4}) / \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) and ({4})
Step 1
Concept
पूर्णांक क्षेत्र में \(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं। / In the integer domain, \(x^2=16\) has solutions (-4) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वह समुच्चय ({4}) के बराबर नहीं हो सकता। / So it cannot be equal to ({4}).
Step 3
Exam Tip
बराबरी जाँचते समय दिए गए क्षेत्र को पहले देखें। / Check the given domain before testing equality.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{N}:1<x<2}\) की सही पहचान चुनिए।
Choose the correct identification of \(A={x\in\mathbb{N}:1<x<2}\).
#sets
#empty-set
#natural-numbers
#strict-inequality
A \(A=\{1\}\)
B \(A=\{2\}\)
C \(A=\varnothing\)
D \(A=\{1,2\}\)
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Correct Answer
C. \(A=\varnothing\)
Step 1
Concept
(1) और (2) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। / There is no natural number strictly between (1) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (A) में कोई अवयव नहीं है। / Hence (A) has no element.
Step 3
Exam Tip
कठोर असमानता में सीमा के दोनों अंक शामिल नहीं होते। / In a strict inequality, boundary numbers are not included.
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यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2\le 0}\), तो (A) क्या है?
If \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2\le 0}\), what is (A)?
#sets
#singleton-set
#integer-solutions
#inequality
A \(\varnothing\)
B ({0})
C ({-1,0,1})
D \(\mathbb{Z}\)
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Step 1
Concept
किसी भी पूर्णांक के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। / For every integer, \(x^2\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\le 0\) तभी होगा जब \(x^2=0\), यानी (x=0)। / The condition \(x^2\le 0\) is possible only when \(x^2=0\), so (x=0).
Step 3
Exam Tip
गैर-ऋणात्मक वर्ग से जुड़े प्रश्नों में (0) को अलग से जाँचें। / In non-negative square questions, check zero separately.
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कौन सा कथन रिक्त समुच्चय के लिए गलत है?
Which statement is false for the empty set?
#sets
#empty-set
#zero
#misconception
A इसमें कोई अवयव नहीं होता / it has no element
B यह परिमित समुच्चय है / it is a finite set
C इसकी अवयव-संख्या (0) है / its number of elements is (0)
D यह ({0}) के बराबर है / it is equal to ({0})
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Correct Answer
D. यह ({0}) के बराबर है / it is equal to ({0})
Step 1
Concept
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता और उसकी संख्या (0) है। / The empty set has no element and its cardinality is (0).
Step 2
Why this answer is correct
({0}) में (0) एक अवयव है, इसलिए वह रिक्त नहीं है। / The set ({0}) contains (0) as an element, so it is not empty.
Step 3
Exam Tip
अवयव-संख्या (0) और अवयव (0) में अंतर समझें। / Understand the difference between cardinality (0) and element (0).
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) 30 का गुणनखंड है और \(x>30}), तो (A) क्या होगा\)?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a factor of 30 and \(x>30}), what will (A) be\)?
#sets
#empty-set
#factors
#logical-condition
A \(\varnothing\)
B ({30})
C \({31,32,33,\ldots}\)
D ({1,2,3,5,6,10,15,30})
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Correct Answer
A. \(\varnothing\)
Step 1
Concept
किसी धनात्मक संख्या का कोई प्राकृतिक गुणनखंड उससे बड़ा नहीं होता। / No natural factor of a positive number is greater than the number itself.
Step 2
Why this answer is correct
(30) का सबसे बड़ा गुणनखंड (30) ही है। / The greatest factor of (30) is (30).
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड और उससे बड़ी संख्या वाली शर्त साथ आए तो रिक्तता जाँचें। / When a factor is required to be greater than the number, check for emptiness.
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) 4 का गुणज है और \(x\le 20}), तो (A) किसके बराबर है\)?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a multiple of 4 and \(x\le 20}), what is (A) equal to\)?
#sets
#finite-set
#multiples
#equal-sets
A ({4,8,12,16,20})
B ({0,4,8,12,16,20})
C ({4,8,12,16})
D अपरिमित समुच्चय / infinite set
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Correct Answer
A. ({4,8,12,16,20})
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं में (4) के गुणज \(4,8,12,16,20,\ldots\) हैं। / Multiples of (4) in natural numbers are \(4,8,12,16,20,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\le 20\) होने से केवल (4,8,12,16,20) बचते हैं। / The condition \(x\le 20\) leaves (4,8,12,16,20).
Step 3
Exam Tip
ऊपरी सीमा गुणजों के अपरिमित समुच्चय को परिमित बना देती है। / An upper bound turns this infinite pattern into a finite set.
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