Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
खुला बिंदु ( -6 ) को हटाता है और बंद बिंदु ( 2 ) को शामिल करता है। परीक्षा में पहले सिरों के खुले या बंद होने को पहचानें। / The open dot excludes ( -6 ), and the closed dot includes ( 2 ). In exams, first identify whether endpoints are open or closed.
खुला बिंदु ( -1 ) को हटाता है और बंद बिंदु ( 9 ) को शामिल करता है। परीक्षा में पहले दोनों सिरों के प्रकार पहचानें। / The open dot excludes ( -1 ), and the closed dot includes ( 9 ). In exams, first identify the type of both endpoints.
B. \( x\le 2 \), ( 2 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le 2 \), closed dot at ( 2 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
( -2 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटता है और \( x\le 2 \) मिलता है। ऋणात्मक से गुणा या भाग करते समय चिन्ह बदलें। / Multiplying by ( -2 ) reverses the sign and gives \( x\le 2 \). Reverse the sign when multiplying or dividing by a negative number.
B. ( 5 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/Closed dot at ( 5 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \( x\ge 5 \) मिलता है। \( \ge \) में सीमा बिंदु बंद होता है और दाईं ओर छाया जाती है। / Solving gives \( x\ge 5 \). For \( \ge \), the boundary is closed and shading goes right.
A. \( x\le -3 \), ( -3 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le -3 \), closed at ( -3 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \( -4x\ge 12 \), इसलिए \( x\le -3 \) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलटता है। / Solving gives \( -4x\ge 12 \), so \( x\le -3 \). Dividing by a negative number reverses the sign.
दोनों अंतरालों का साझा भाग \( -4<x\le 1 \) है। प्रतिच्छेद में केवल दोनों में आने वाला भाग रखें। / The common part of both intervals is \( -4<x\le 1 \). In an intersection, keep only the part present in both intervals.
( |x+2|>3 ) से ( x+2<-3 ) या ( x+2>3 ) मिलता है। सख्त असमानता में सीमा बिंदु खुले रहते हैं। / ( |x+2|>3 ) gives ( x+2<-3 ) or ( x+2>3 ). Boundary points stay open in a strict inequality.
( -3 ) शामिल है और ( 4 ) शामिल नहीं है। पूर्णांक समाधान में लगातार छाया के बजाय अलग बिंदु चिन्हित करें। / ( -3 ) is included and ( 4 ) is excluded. For integer solutions, mark separate points instead of a continuous shade.
\( \frac{1}{2} \) और \( \frac{11}{2} \) के बीच पूर्णांक ( 1 ) से ( 5 ) तक हैं। पूर्णांक समाधान में केवल अलग-अलग बिंदु चिन्हित करें। / The integers between \( \frac{1}{2} \) and \( \frac{11}{2} \) are from ( 1 ) to ( 5 ). For integer solutions, mark only separate points.
पूरक में ( -1 ) शामिल हो जाता है और ( 7 ) हट जाता है। पूरक लेते समय खुले और बंद सिरे बदल जाते हैं। / In the complement, ( -1 ) becomes included and ( 7 ) is excluded. Open and closed endpoints switch when taking complements.
दिए गए अंतराल में ( 2 ) शामिल है और ( 11 ) शामिल नहीं है। पूरक में ( 2 ) हटेगा और ( 11 ) शामिल होगा। / The given interval includes ( 2 ) and excludes ( 11 ). In the complement, ( 2 ) is removed and ( 11 ) is included.
C. \( x\le -4 \) या ( x>3 )/\( x\le -4 \) or ( x>3 )
Explanation
Simple Explanation
पहला भाग \( x\le -4 \) और दूसरा भाग ( x>3 ) है। अलग-अलग छायांकित भाग सामान्यतः ( या ) से जुड़ते हैं। \(/ The first part is ( x\le -4 ), and the second is ( x>3 ). Separate shaded parts are usually joined by OR.\)
साझा भाग ( -2<x<5 ) है। प्रतिच्छेद में केवल दोनों अंतरालों में आने वाला भाग रखें। / The common part is ( -2<x<5 ). In an intersection, keep only the part common to both intervals.
D. \( x\le -\frac{8}{3} \) या \( x\ge 4 \)/\( x\le -\frac{8}{3} \) or \( x\ge 4 \)
Explanation
Simple Explanation
\( |3x-2|\ge 10 \) से \( 3x-2\le -10 \) या \( 3x-2\ge 10 \) मिलता है। बराबरी होने से दोनों सीमा बिंदु बंद रहेंगे। / \( |3x-2|\ge 10 \) gives \( 3x-2\le -10 \) or \( 3x-2\ge 10 \). Because equality is included, both boundary points are closed.
\( |x-4|\le 6 \) से \( -6\le x-4\le 6 \) मिलता है। इसलिए दोनों सिरे शामिल होकर ( [-2,10] ) बनते हैं। / \( |x-4|\le 6 \) gives \( -6\le x-4\le 6 \). Hence both endpoints are included and the interval is ( [-2,10] ).
दोनों अंतरालों का साझा भाग \( -3\le x<4 \) है। प्रतिच्छेद में केवल समान छायांकित भाग रखें। / The common part of both intervals is \( -3\le x<4 \). In an intersection, keep only the commonly shaded region.
( |2x+1|>7 ) से ( 2x+1<-7 ) या ( 2x+1>7 ) मिलता है। सख्त चिन्ह के कारण ( -4 ) और ( 3 ) खुले रहेंगे। / ( |2x+1|>7 ) gives ( 2x+1<-7 ) or ( 2x+1>7 ). Because the sign is strict, ( -4 ) and ( 3 ) remain open.
हटाए गए भाग में ( -2 ) शामिल नहीं है पर ( 3 ) शामिल है। इसलिए ( -2 ) बचता है और ( 3 ) हट जाता है। / The removed part excludes ( -2 ) but includes ( 3 ). Therefore ( -2 ) remains and ( 3 ) is removed.
पहली असमानता से ( x<6 ) और दूसरी से \( x\ge -2 \) मिलता है। दोनों शर्तों के लिए साझा भाग ( [-2,6) ) है। / The first inequality gives ( x<6 ), and the second gives \( x\ge -2 \). For both conditions, the common part is ( [-2,6) ).
कोई संख्या एक साथ ( 0 ) से छोटी या बराबर और ( 0 ) से बड़ी नहीं हो सकती। ( और ) में प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / No number can be both less than or equal to ( 0 ) and greater than ( 0 ). For AND, the intersection is empty.
हटाए गए भाग में ( 1 ) शामिल है पर ( 3 ) शामिल नहीं है। इसलिए ( 1 ) हटेगा और ( 3 ) बचेगा। / The removed part includes ( 1 ) but excludes ( 3 ). So ( 1 ) is removed and ( 3 ) remains.
हल करने पर \( -18\le -3x<-3 \) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर \( 6\ge x>1 \), यानी \( 1<x\le 6 \) होगा। / Solving gives \( -18\le -3x<-3 \). Dividing by a negative gives \( 6\ge x>1 \), that is \( 1<x\le 6 \).
कोई संख्या एक साथ ( 4 ) से बड़ी और ( 4 ) से छोटी या बराबर नहीं हो सकती। ( और ) में प्रतिच्छेद रिक्त है। / No number can be both greater than ( 4 ) and less than or equal to ( 4 ). For AND, the intersection is empty.
दोनों अंतराल मिलकर ( -5 ) सहित पूरी संख्या रेखा को ढकते हैं। संघ में सभी छायांकित भाग शामिल होते हैं। / Together the two intervals cover the entire number line including ( -5 ). A union includes all shaded parts.
B. सिर्फ ( -3 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( -3 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों शर्तें केवल ( x=-3 ) पर साथ सत्य हैं। एकल समाधान को बंद बिंदु से दिखाते हैं। / Both conditions are true together only at ( x=-3 ). A single solution is shown by a closed dot.
पहला अंतराल ( 5 ) से पहले तक जाता है और दूसरा ( 5 ) को शामिल करता है। मिलकर छाया ( -2 ) से ( 12 ) तक खुले सिरों के साथ बनती है। / The first interval reaches up to before ( 5 ), and the second includes ( 5 ). Together they form shading from ( -2 ) to ( 12 ) with open endpoints.
C. \( \frac{5}{3} \) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/Open dot at \( \frac{5}{3} \), shaded left
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक \( \frac{5}{3} \) को हटाता है और \( -\infty \) बाईं दिशा बताता है। अनंत पर कभी बंद बिंदु नहीं लगाया जाता। / The round bracket excludes \( \frac{5}{3} \), and \( -\infty \) indicates the left direction. Infinity never gets a closed endpoint.
B. ( x>7 ), ( 7 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>7 ), open at ( 7 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
( -5 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर ( 9-2x>-5 ) मिलता है। फिर ( -2x>-14 ) से ( x<7 ) मिलता है। / Multiplying by ( -5 ) reverses the sign and gives ( 9-2x>-5 ). Then ( -2x>-14 ) gives ( x<7 ).
A. \( -\frac{7}{4} \) बंद और \( \frac{1}{2} \) खुला/\( -\frac{7}{4} \) closed and \( \frac{1}{2} \) open
Explanation
Simple Explanation
\( \le \) वाला सिरा बंद और ( < ) वाला सिरा खुला होता है। भिन्नों को भी संख्या रेखा पर क्रम से रखें। / The endpoint with \( \le \) is closed and the endpoint with ( < ) is open. Place fractions in order on the number line.
A. \( -\frac{5}{3} \) बंद और \( \frac{4}{3} \) खुला/\( -\frac{5}{3} \) closed and \( \frac{4}{3} \) open
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \( -\frac{5}{3} \) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक \( \frac{4}{3} \) को हटाता है। भिन्न सिरों पर भी वही नियम लागू होता है। / The square bracket includes \( -\frac{5}{3} \), and the round bracket excludes \( \frac{4}{3} \). The same rule applies to fractional endpoints.
A. ( x>2 ), ( 2 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>2 ), open at ( 2 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( -3x<-6 ), इसलिए ( x>2 ) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलें। / Solving gives ( -3x<-6 ), so ( x>2 ). Reverse the inequality sign when dividing by a negative number.
हल करने पर \( 6<2x\le 12 \), इसलिए \( 3<x\le 6 \) मिलता है। सख्त सिरा खुला और बराबरी वाला सिरा बंद रखें। / Solving gives \( 6<2x\le 12 \), so \( 3<x\le 6 \). Keep the strict endpoint open and the equality endpoint closed.
दोनों सिरे खुले हैं इसलिए दोनों ओर गोल कोष्ठक लगते हैं। खुले बिंदु सीमा मान को शामिल नहीं करते। / Both endpoints are open, so round brackets are used on both sides. Open dots do not include boundary values.
पहला अंतराल ( 4 ) से पहले रुकता है और दूसरा ( 4 ) के बाद शुरू होता है। इसलिए दोनों में कोई साझा भाग नहीं है। / The first interval stops before ( 4 ), and the second begins after ( 4 ). Therefore, there is no common part.
A. ( x<4 ), ( 4 ) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/( x<4 ), open at ( 4 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( 2x-3<5 ), इसलिए ( x<4 ) मिलता है। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Solving gives ( 2x-3<5 ), so ( x<4 ). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
B. सिर्फ ( 8 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 8 )
Explanation
Simple Explanation
परम मान ( 0 ) से छोटा नहीं हो सकता और ( |x-8|=0 ) पर ( x=8 ) मिलता है। इसलिए केवल एक बंद बिंदु बनेगा। / Absolute value cannot be less than ( 0 ), and ( |x-8|=0 ) gives ( x=8 ). So only one closed dot appears.
A. पूरी संख्या रेखा पर छाया और ( -6 ) पर खुला छेद/Whole number line shaded with an open hole at ( -6 )
Explanation
Simple Explanation
\( x\ne -6 \) में ( -6 ) छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। हटाए गए बिंदु को खुले छेद से दिखाएं। / \( x\ne -6 \) includes all real numbers except ( -6 ). Show the removed point by an open hole.
\( 2<x\le 2 \) कोई संख्या संतुष्ट नहीं कर सकती। समान सीमा पर विरोधी शर्त हो तो अंतराल रिक्त होता है। / No number can satisfy \( 2<x\le 2 \). With equal boundaries and conflicting endpoint conditions, the interval is empty.
हल करने पर \( -5\le -2x<5 \) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर \( \frac{5}{2}\ge x>-\frac{5}{2} \), यानी \( -\frac{5}{2}<x\le \frac{5}{2} \) होगा। / Solving gives \( -5\le -2x<5 \). Dividing by a negative gives \( \frac{5}{2}\ge x>-\frac{5}{2} \), that is \( -\frac{5}{2}<x\le \frac{5}{2} \).
पहला भाग ( 0 ) को शामिल करता है और दूसरा भाग ( 0 ) से बड़े मान देता है। दोनों मिलकर पूरी वास्तविक रेखा बनाते हैं। / The first part includes ( 0 ), and the second gives values greater than ( 0 ). Together they form the whole real line.
B. ( 4 ) पर खुला छेद होगा/There will be an open hole at ( 4 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतराल ( 4 ) को शामिल नहीं करते। इसलिए ( 4 ) पर खुला छेद और दोनों ओर छाया होगी। / Both intervals exclude ( 4 ). Therefore, there is an open hole at ( 4 ) with shading on both sides.
सरलीकरण से \( 6-3x\le x+10 \), इसलिए \( -4x\le 4 \) और \( x\ge -1 \)। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिन्ह पलटता है। / Simplifying gives \( 6-3x\le x+10 \), so \( -4x\le 4 \) and \( x\ge -1 \). The sign reverses when dividing by a negative coefficient.
बाईं ओर सख्त चिन्ह है इसलिए गोल कोष्ठक और दाईं ओर बराबरी है इसलिए वर्ग कोष्ठक लगेगा। अंतराल में छोटा मान पहले लिखें। / The left side is strict, so use a round bracket, and the right side includes equality, so use a square bracket. Write the smaller value first in interval notation.
दिए गए अंतराल में ( -6 ) शामिल है और ( -2 ) शामिल नहीं है। पूरक में ( -6 ) हटेगा और ( -2 ) शामिल होगा। / The given interval includes ( -6 ) and excludes ( -2 ). In the complement, ( -6 ) is removed and ( -2 ) is included.
B. सिर्फ ( -1 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( -1 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतरालों का साझा भाग केवल ( -1 ) है। दोनों में ( -1 ) शामिल है इसलिए बंद बिंदु बनेगा। / The common part of both intervals is only ( -1 ). Since ( -1 ) is included in both, it becomes a closed dot.
C. \( -\frac{2}{3} \) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/Open at \( -\frac{2}{3} \), shaded right
Explanation
Simple Explanation
( > ) सीमा मान को शामिल नहीं करता और दाईं ओर बड़े मान होते हैं। भिन्न सीमा के लिए भी यही नियम लागू करें। / The sign ( > ) excludes the boundary, and greater values lie to the right. Apply the same rule for fractional boundaries.
C. \( x\le -1 \), ( -1 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le -1 \), closed at ( -1 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
( -2 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर \( 7-x\le -8 \) मिलता है। फिर \( -x\le -15 \) से \( x\ge 15 \) नहीं, सही सरलीकरण से \( x\ge 15 \) होता है। / Multiplying by ( -2 ) reverses the sign and gives \( 7-x\le -8 \). Then \( -x\le -15 \), so \( x\ge 15 \).
