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C. प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी/Reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
(a+a) is always even, so the relation is reflexive. The parity condition also gives symmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी / Reflexive, symmetric and transitive. (a+a) is always even, so the relation is reflexive. The parity condition also gives symmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
(a+a) सदैव सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। समता की सम-विषमता से सममिति और संक्रामिता भी मिलती है।
There are three classes according to remainders (0,1,2). In exam, counting residues is the fastest way for modulo relations.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (3). There are three classes according to remainders (0,1,2). In exam, counting residues is the fastest way for modulo relations.
Step 3
Exam Tip
अवशेष (0,1,2) के अनुसार तीन वर्ग बनते हैं। परीक्षा में मापांक संबंध में अवशेष गिनना सबसे तेज तरीका है।
\(A\times A\) has (9) pairs and (3) diagonal pairs are compulsory. The remaining (6) pairs are optional, so the number is \(2^6\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2^6\). \(A\times A\) has (9) pairs and (3) diagonal pairs are compulsory. The remaining (6) pairs are optional, so the number is \(2^6\).
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) में (9) युग्म हैं और (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। शेष (6) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है।
\(A\times A\) has \(4^2=16\) ordered pairs. Every relation is a subset of \(A\times A\), so the total number is \(2^{16}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(2^{16}\). \(A\times A\) has \(4^2=16\) ordered pairs. Every relation is a subset of \(A\times A\), so the total number is \(2^{16}\).
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) में \(4^2=16\) क्रमित युग्म होंगे। हर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है, इसलिए कुल संख्या \(2^{16}\) है।
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
\(a \leq a\) gives reflexivity. If \(a \leq b\) and \(b \leq a\), then (a=b), so it is also antisymmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी / Reflexive, antisymmetric and transitive. \(a \leq a\) gives reflexivity. If \(a \leq b\) and \(b \leq a\), then (a=b), so it is also antisymmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
\(a \leq a\) से प्रतिवर्तीता मिलती है। यदि \(a \leq b\) और \(b \leq a\), तो (a=b), इसलिए यह प्रतिसममित और संक्रामी भी है।
C. अप्रतिवर्ती और संक्रामी है/It is irreflexive and transitive
Step 1
Concept
For no (a), (a<a) is true, so it is irreflexive. From (a<b) and (b<c), we get (a<c).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. अप्रतिवर्ती और संक्रामी है / It is irreflexive and transitive. For no (a), (a<a) is true, so it is irreflexive. From (a<b) and (b<c), we get (a<c).
Step 3
Exam Tip
किसी भी (a) के लिए (a<a) सत्य नहीं है, इसलिए यह अप्रतिवर्ती है। (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलता है।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
All diagonal pairs are present and ((2,1)) is also present with ((1,2)). The classes ({1,2}) and ({3}) show transitivity too.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation. All diagonal pairs are present and ((2,1)) is also present with ((1,2)). The classes ({1,2}) and ({3}) show transitivity too.
Step 3
Exam Tip
सभी विकर्ण युग्म उपस्थित हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। ({1,2}) और ({3}) वर्ग बनते हैं, इसलिए संक्रामिता भी सही है।
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
Every (a) divides itself. Divisibility is antisymmetric and transitive, but generally not symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी / Reflexive, antisymmetric and transitive. Every (a) divides itself. Divisibility is antisymmetric and transitive, but generally not symmetric.
Step 3
Exam Tip
हर (a) स्वयं को विभाजित करता है। विभाज्यता संबंध प्रतिसममित और संक्रामी होता है, लेकिन सामान्यतः सममित नहीं होता।
The (5) diagonal pairs are independent and the off-diagonal \(\binom{5}{2}=10\) unordered pairs are independent. So the number is \(2^{5+10}=2^{15}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2^{15}\). The (5) diagonal pairs are independent and the off-diagonal \(\binom{5}{2}=10\) unordered pairs are independent. So the number is \(2^{5+10}=2^{15}\).
Step 3
Exam Tip
विकर्ण के (5) युग्म स्वतंत्र हैं और विकर्ण से बाहर \(\binom{5}{2}=10\) जोड़े स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^{5+10}=2^{15}\) है।
The (4) diagonal pairs may be included or excluded freely. Each off-diagonal unordered pair has three choices, so \(2^4\cdot3^{\binom{4}{2}}=2^4\cdot3^6\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^4\cdot3^6\). The (4) diagonal pairs may be included or excluded freely. Each off-diagonal unordered pair has three choices, so \(2^4\cdot3^{\binom{4}{2}}=2^4\cdot3^6\).
Step 3
Exam Tip
विकर्ण के (4) युग्म स्वतंत्र रूप से लिए या छोड़े जा सकते हैं। हर अविकर्ण जोड़े के लिए तीन विकल्प हैं, इसलिए \(2^4\cdot3^{\binom{4}{2}}=2^4\cdot3^6\)।
Reflexivity makes the (3) diagonal pairs compulsory. For the remaining \(\binom{3}{2}=3\) off-diagonal pairs, each pair is either included together or excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^3\). Reflexivity makes the (3) diagonal pairs compulsory. For the remaining \(\binom{3}{2}=3\) off-diagonal pairs, each pair is either included together or excluded.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्तीता से (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। शेष \(\binom{3}{2}=3\) अविकर्ण जोड़ों में प्रत्येक जोड़ा साथ लिया या छोड़ा जाता है।
\(a-a=0\in\mathbb{Z}\), and integers are closed under negatives and addition. Hence the relation is reflexive, symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation. \(a-a=0\in\mathbb{Z}\), and integers are closed under negatives and addition. Hence the relation is reflexive, symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
\(a-a=0\in\mathbb{Z}\), और पूर्णांकों में ऋण तथा योग बंद रहते हैं। इसलिए संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(a^2=a^2\) gives reflexivity. The nature of equality gives symmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation. \(a^2=a^2\) gives reflexivity. The nature of equality gives symmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
\(a^2=a^2\) से प्रतिवर्तीता मिलती है। बराबरी की प्रकृति से सममिति और संक्रामिता भी मिलती है।
(a+b) is even when both integers have the same parity. So the two classes are even integers and odd integers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सम और विषम पूर्णांक / Even and odd integers. (a+b) is even when both integers have the same parity. So the two classes are even integers and odd integers.
Step 3
Exam Tip
(a+b) सम तब होता है जब दोनों की सम-विषमता समान हो। इसलिए दो वर्ग सम पूर्णांक और विषम पूर्णांक हैं।
([3]) contains elements having the same remainder as (3) modulo (2). Hence all odd elements ({1,3,5}) are included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({1,3,5}). ([3]) contains elements having the same remainder as (3) modulo (2). Hence all odd elements ({1,3,5}) are included.
Step 3
Exam Tip
([3]) में वे अवयव आते हैं जिनका (3) जैसा अवशेष (2) से भाग देने पर हो। इसलिए सभी विषम अवयव ({1,3,5}) मिलते हैं।
All diagonal pairs are present and ((3,1)) is present with ((1,3)). From ((1,3)) and ((3,1)), ((1,1)) already exists, so transitivity is not broken.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation. All diagonal pairs are present and ((3,1)) is present with ((1,3)). From ((1,3)) and ((3,1)), ((1,1)) already exists, so transitivity is not broken.
Step 3
Exam Tip
सभी विकर्ण युग्म हैं और ((1,3)) के साथ ((3,1)) भी है। ((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) पहले से है, इसलिए संक्रामिता नहीं टूटती।
A. अप्रतिवर्ती और संक्रामी/Irreflexive and transitive
Step 1
Concept
(x-x>0) is false, so the relation is irreflexive. From (x>y) and (y>z), we get (x>z).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अप्रतिवर्ती और संक्रामी / Irreflexive and transitive. (x-x>0) is false, so the relation is irreflexive. From (x>y) and (y>z), we get (x>z).
Step 3
Exam Tip
(x-x>0) असत्य है, इसलिए संबंध अप्रतिवर्ती है। (x>y) और (y>z) से (x>z) मिलता है।
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
If (|a-b|=1), then (|b-a|=1), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) do not give ((1,3)), so it is not transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी / Symmetric but neither reflexive nor transitive. If (|a-b|=1), then (|b-a|=1), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) do not give ((1,3)), so it is not transitive.
Step 3
Exam Tip
यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1), इसलिए सममिति है। पर ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) नहीं मिलता, इसलिए संक्रामिता नहीं है।
For symmetry, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present. Hence ((2,1)) must be added because of ((1,2)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((2,1)). For symmetry, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present. Hence ((2,1)) must be added because of ((1,2)).
Step 3
Exam Tip
सममिति के लिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होना चाहिए। इसलिए ((1,2)) के कारण ((2,1)) जोड़ना होगा।
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs. Hence reflexive, symmetric and transitive properties always hold.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सदैव / Always. \(A\times A\) contains all possible ordered pairs. Hence reflexive, symmetric and transitive properties always hold.
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। इसलिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण सदैव पूरे होते हैं।
A. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
The empty relation has no counterexample, so symmetry and transitivity are vacuously true. For non-empty (A), ((a,a)) is missing, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive. The empty relation has no counterexample, so symmetry and transitivity are vacuously true. For non-empty (A), ((a,a)) is missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध में कोई विरोधी उदाहरण नहीं होता, इसलिए सममिति और संक्रामिता रिक्त रूप से सत्य हैं। अरिक्त (A) में ((a,a)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्तीता नहीं है।
A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (a+b=5), then (b+a=5), so the relation is symmetric. But diagonal pairs like ((1,1)) are absent, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive. If (a+b=5), then (b+a=5), so the relation is symmetric. But diagonal pairs like ((1,1)) are absent, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
यदि (a+b=5), तो (b+a=5), इसलिए संबंध सममित है। लेकिन ((1,1)) जैसे विकर्ण युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
Symmetry follows because addition is commutative. But for ((4,4)), \(4+4\leq6\) is false, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive. Symmetry follows because addition is commutative. But for ((4,4)), \(4+4\leq6\) is false, so reflexivity fails.
Step 3
Exam Tip
योग की अदला-बदली से सममिति मिलती है। पर ((4,4)) के लिए \(4+4\leq6\) असत्य है, इसलिए प्रतिवर्तीता नहीं है।
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
If (a-b) is odd, then (b-a) is also odd. But (a-a=0) is not odd, and ((1,2),(2,3)) do not imply ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी / Symmetric but neither reflexive nor transitive. If (a-b) is odd, then (b-a) is also odd. But (a-a=0) is not odd, and ((1,2),(2,3)) do not imply ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
यदि (a-b) विषम है, तो (b-a) भी विषम है। लेकिन (a-a=0) विषम नहीं और ((1,2),(2,3)) से ((1,3)) नहीं मिलता।
A. सममित पर संक्रामी नहीं/Symmetric but not transitive
Step 1
Concept
The condition that the sum is odd is symmetric. But (1R2) and (2R1) are true, while (1R1) is false, so transitivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर संक्रामी नहीं / Symmetric but not transitive. The condition that the sum is odd is symmetric. But (1R2) and (2R1) are true, while (1R1) is false, so transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
योग विषम होने की शर्त सममित है। लेकिन (1R2) और (2R1) सत्य हैं, जबकि (1R1) असत्य है, इसलिए संक्रामिता नहीं है।
If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both relations. Since both are symmetric, ((b,a)) also belongs to both.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह सदैव सममित है / It is always symmetric. If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both relations. Since both are symmetric, ((b,a)) also belongs to both.
Step 3
Exam Tip
यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों में है। दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा।
A. प्रतिवर्ती, सममित, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, symmetric, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
The identity relation contains only diagonal pairs. Therefore all four properties hold together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती, सममित, प्रतिसममित और संक्रामी / Reflexive, symmetric, antisymmetric and transitive. The identity relation contains only diagonal pairs. Therefore all four properties hold together.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध में केवल विकर्ण युग्म होते हैं। इसलिए चारों गुण एक साथ पूरे हो जाते हैं।
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
All diagonal pairs are present because of (a=b), and both conditions are symmetric. However, transitivity must be checked carefully; this relation actually stays transitive within paired blocks ({1,4}) and ({2,3}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive. All diagonal pairs are present because of (a=b), and both conditions are symmetric. However, transitivity must be checked carefully; this relation actually stays transitive within paired blocks ({1,4}) and ({2,3}).
Step 3
Exam Tip
(a=b) के कारण सभी विकर्ण युग्म हैं और दोनों शर्तें सममित हैं। पर ((1,4)) और ((4,1)) से ((1,1)) तो है, लेकिन ((1,4)) और ((4,4)) से कोई समस्या नहीं; असफलता ((1,4),(4,1)) नहीं, बल्कि ((1,4),(4,1)) से ((1,1)) मिलती है, इसलिए जांच में ((1,4),(4,1)) ध्यान से देखें।
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(a=b) gives reflexivity and (|a-b|=1) gives symmetry. But ((1,2)) and ((2,3)) are true, while ((1,3)) is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive. (a=b) gives reflexivity and (|a-b|=1) gives symmetry. But ((1,2)) and ((2,3)) are true, while ((1,3)) is false.
Step 3
Exam Tip
(a=b) से प्रतिवर्तीता और (|a-b|=1) से सममिति मिलती है। लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) सत्य हैं, जबकि ((1,3)) असत्य है।
\(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs. Each relation can be any subset of it, so there are \(2^{n^2}\) relations.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^{n^2}\). \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs. Each relation can be any subset of it, so there are \(2^{n^2}\) relations.
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं। हर संबंध इनका कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है, इसलिए \(2^{n^2}\) संबंध हैं।
In a reflexive relation, (n) diagonal pairs are compulsory. The remaining \(n^2-n\) pairs are free, so the number is \(2^{n^2-n}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^{n^2-n}\). In a reflexive relation, (n) diagonal pairs are compulsory. The remaining \(n^2-n\) pairs are free, so the number is \(2^{n^2-n}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं। शेष \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) है।
There are (n) diagonal choices and \(\binom{n}{2}\) independent off-diagonal pair choices. Thus the exponent is (n+\binom{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\). There are (n) diagonal choices and \(\binom{n}{2}\) independent off-diagonal pair choices. Thus the exponent is (n+\binom{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
(n) विकर्ण युग्म और \(\binom{n}{2}\) अविकर्ण जोड़े स्वतंत्र होते हैं। इसलिए कुल घात (n+\binom{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) है।
The (n) diagonal pairs are free. Each off-diagonal unordered pair has three choices, so the count is \(2^n3^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^n3^{\frac{n(n-1)}{2}}\). The (n) diagonal pairs are free. Each off-diagonal unordered pair has three choices, so the count is \(2^n3^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
Step 3
Exam Tip
विकर्ण के (n) युग्म स्वतंत्र हैं। हर अविकर्ण अनियोजित जोड़े के लिए तीन विकल्प होते हैं, इसलिए \(2^n3^{\frac{n(n-1)}{2}}\)।
A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), so symmetry holds. But (\gcd(2,2)=2\neq1), so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive. (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), so symmetry holds. But (\gcd(2,2)=2\neq1), so reflexivity fails.
Step 3
Exam Tip
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), इसलिए सममिति है। पर (\gcd(2,2)=2\neq1), इसलिए प्रतिवर्तीता नहीं है।
(\operatorname{lcm}(2,4)=4), so ((2,4)) is in the relation. In the other options, the least common multiple is not (4).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((2,4)). (\operatorname{lcm}(2,4)=4), so ((2,4)) is in the relation. In the other options, the least common multiple is not (4).
Step 3
Exam Tip
(\operatorname{lcm}(2,4)=4), इसलिए ((2,4)) संबंध में है। बाकी विकल्पों में लघुत्तम समापवर्त्य (4) नहीं है।
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
The condition \(a-b\geq0\) means \(a\geq b\). This order relation is reflexive, antisymmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी / Reflexive, antisymmetric and transitive. The condition \(a-b\geq0\) means \(a\geq b\). This order relation is reflexive, antisymmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
शर्त \(a-b\geq0\) का अर्थ \(a\geq b\) है। यह क्रम संबंध प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी होता है।
A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
Since (ab=ba), the relation is symmetric. But for ((1,1)), \(1\cdot1\) is not even, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive. Since (ab=ba), the relation is symmetric. But for ((1,1)), \(1\cdot1\) is not even, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
(ab=ba), इसलिए संबंध सममित है। पर ((1,1)) में \(1\cdot1\) सम नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
The sum is even when both elements have the same parity. With (3) odd and (2) even elements, the number of pairs is \(3^2+2^2=13\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (13). The sum is even when both elements have the same parity. With (3) odd and (2) even elements, the number of pairs is \(3^2+2^2=13\).
Step 3
Exam Tip
योग सम तब है जब दोनों अवयव समान सम-विषमता के हों। (3) विषम और (2) सम अवयवों से \(3^2+2^2=13\) युग्म मिलते हैं।
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
If \(a\neq b\), then \(b\neq a\), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)), which is not in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी / Symmetric but neither reflexive nor transitive. If \(a\neq b\), then \(b\neq a\), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)), which is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a\neq b\), तो \(b\neq a\), इसलिए सममिति है। लेकिन ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो संबंध में नहीं है।
An equivalence relation must be reflexive, symmetric and transitive. Antisymmetry is a property related to partial order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिसममित / Antisymmetric. An equivalence relation must be reflexive, symmetric and transitive. Antisymmetry is a property related to partial order.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता संबंध के लिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होना आवश्यक है। प्रतिसममिति आंशिक क्रम से जुड़ा गुण है।
A. नहीं, संक्रामिता अलग से जांचनी पड़ती है/No, transitivity must be checked separately
Step 1
Concept
Reflexivity and antisymmetry do not automatically imply transitivity. In exams, check each property separately from its definition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. नहीं, संक्रामिता अलग से जांचनी पड़ती है / No, transitivity must be checked separately. Reflexivity and antisymmetry do not automatically imply transitivity. In exams, check each property separately from its definition.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्तीता और प्रतिसममिति से संक्रामिता स्वतः नहीं मिलती। परीक्षा में हर गुण को उसकी परिभाषा से अलग जांचें।
A. क्योंकि यह संक्रामी नहीं है/Because it is not transitive
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,3)) are present, but ((1,3)) is absent. Hence transitivity fails, so it is not an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि यह संक्रामी नहीं है / Because it is not transitive. ((1,2)) and ((2,3)) are present, but ((1,3)) is absent. Hence transitivity fails, so it is not an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है। इसलिए संक्रामिता टूटती है और यह समतुल्यता संबंध नहीं है।
