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The numbers (2,3,5,7) are prime and (1) is not prime.
Step 3
Exam Tip
In exams, never treat (1) as a prime number. चरण 1: (10) से छोटी प्राकृतिक संख्याओं में केवल अभाज्य संख्याएँ चुननी हैं। चरण 2: (2,3,5,7) अभाज्य हैं और (1) अभाज्य नहीं होता। चरण 3: परीक्षा में (1) को अभाज्य मानने की गलती न करें।
From (x(x-1)=0), we get (x=0) or (x=1), and both are integers.
Step 3
Exam Tip
While writing a set, include each value only once. चरण 1: समीकरण \(x^2=x\) को \(x^2-x=0\) लिखें। चरण 2: (x(x-1)=0) से (x=0) या (x=1) मिलता है और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: समुच्चय लिखते समय सभी मानों को एक बार ही लिखें।
A set contains exactly the elements satisfying the given condition.
Step 2
Why this answer is correct
The usual vowels of the English alphabet are (a,e,i,o,u).
Step 3
Exam Tip
In roster form, write each element separately and only once. चरण 1: समुच्चय में वही तत्व आते हैं जो दी गई शर्त को पूरा करते हैं। चरण 2: अंग्रेजी वर्णमाला के सामान्य स्वर (a,e,i,o,u) हैं। चरण 3: रोस्टर रूप में हर तत्व को अलग-अलग और केवल एक बार लिखें।
When two conditions are given, first list the larger set and then filter the correct elements. चरण 1: (36) के गुणनखंड (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: इनमें पूर्ण वर्ग (1,4,9,36) हैं। चरण 3: दो शर्तें हों तो पहले बड़ी सूची बनाकर फिर सही सदस्यों को छाँटें।
(-3) is excluded but (2) is included because of \(\leq\).
Step 3
Exam Tip
Read open and closed endpoints carefully in inequalities. चरण 1: (x) पूर्णांक है और (-3) से बड़ा होना चाहिए। चरण 2: (-3) शामिल नहीं होगा, लेकिन (2) शामिल होगा क्योंकि चिन्ह \(\leq\) है। चरण 3: असमानता में खुले और बंद सिरों को ध्यान से पढ़ें।
\(|x-2|\leq 1\) means (x) is at most (1) unit away from (2).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values (1,2,3) satisfy this condition.
Step 3
Exam Tip
Substitute the values and check the absolute value to avoid mistakes. चरण 1: \(|x-2|\leq 1\) का अर्थ है (x), संख्या (2) से अधिकतम (1) दूरी पर है। चरण 2: पूर्णांक मान (1,2,3) इस शर्त को पूरा करते हैं। चरण 3: मान रखने के बाद निरपेक्ष मान की जाँच करके गलती कम करें।
C. (10) से छोटी सम संख्याएँ/Even numbers less than (10)
Step 1
Concept
A set must have clearly defined membership.
Step 2
Why this answer is correct
Even numbers less than (10) can be identified exactly.
Step 3
Exam Tip
Words like good, beautiful, and interesting are opinion-based, so they do not define a clear set. चरण 1: समुच्चय वही होता है जिसकी सदस्यता स्पष्ट रूप से तय हो सके। चरण 2: (10) से छोटी सम संख्याएँ निश्चित रूप से पहचानी जा सकती हैं। चरण 3: अच्छे, सुंदर और रोचक जैसे शब्द मत-आधारित होते हैं, इसलिए उनसे साफ समुच्चय नहीं बनता।
(x) is a natural number, so negative values are not allowed.
Step 2
Why this answer is correct
\(4^2=16\), so (4) belongs to the set.
Step 3
Exam Tip
Always check the given number system before taking all algebraic solutions. चरण 1: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए ऋणात्मक संख्या नहीं लेनी है। चरण 2: \(4^2=16\), इसलिए (4) सदस्य है। चरण 3: समीकरण के सभी हल लेने से पहले दी गई संख्या-प्रणाली जरूर देखें।
Among natural numbers, the number less than (2) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(1) is odd, so it belongs to the set.
Step 3
Exam Tip
Before choosing the empty set, check whether even one element satisfies the condition. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में (2) से छोटी संख्या (1) है। चरण 2: (1) विषम है, इसलिए वह समुच्चय में आएगा। चरण 3: खाली समुच्चय चुनने से पहले जाँच लें कि कोई एक सदस्य भी तो शर्त पूरी नहीं कर रहा।
(x) must be a natural number greater than (5) and less than (6).
Step 2
Why this answer is correct
There is no natural number between (5) and (6).
Step 3
Exam Tip
Quickly notice that no natural number lies between consecutive whole numbers. चरण 1: (x) को (5) से बड़ा और (6) से छोटा प्राकृतिक संख्या होना है। चरण 2: (5) और (6) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 3: लगातार पूर्ण संख्याओं के बीच प्राकृतिक संख्या नहीं होती, यह जल्दी पहचानें।
A. \(({x \in \mathbb{N}:x\) सम है और \(x<10})\)/\(({x \in \mathbb{N}:x\) is even and \(x<10})\)
Step 1
Concept
All given elements are even natural numbers less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
If \(x\leq 10\), then (10) would also be included, so it is not correct.
Step 3
Exam Tip
In set-builder form, choose limits that do not add extra elements. चरण 1: दिए गए सभी सदस्य (10) से छोटी सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 2: \(x\leq 10\) लिखने पर (10) भी आ जाएगा, इसलिए वह सही नहीं है। चरण 3: समुच्चय-निर्माण रूप में सीमा ऐसी रखें कि कोई अतिरिक्त सदस्य न आए।
Do not increase the count just because elements are repeated in roster form. चरण 1: समुच्चय में किसी सदस्य की पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। चरण 2: अलग-अलग सदस्य (1,2,3) हैं। चरण 3: रोस्टर रूप में दोहराए गए सदस्य देखकर गिनती न बढ़ाएँ।
Here natural numbers are assumed to start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
The one-digit even natural numbers are (2,4,6,8).
Step 3
Exam Tip
If the question defines \(\mathbb{N}\), follow that definition. चरण 1: यहाँ प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी गई हैं। चरण 2: एक अंकीय सम प्राकृतिक संख्याएँ (2,4,6,8) हैं। चरण 3: प्रश्न में \(\mathbb{N}\) की परिभाषा दी हो तो उसी को मानें।
For (-2) and (2), the square is (4), not less than (4).
Step 3
Exam Tip
In strict inequalities, do not include the equal boundary values. चरण 1: पूर्णांकों में \(x^2<4\) के लिए (x=-1,0,1) मिलते हैं। चरण 2: (-2) और (2) लेने पर वर्ग (4) होता है, जो (4) से छोटा नहीं है। चरण 3: सख्त असमानता में बराबर वाले मान शामिल न करें।
In a set of factors, do not forget (1) and the number itself. चरण 1: (12) के धनात्मक गुणनखंड खोजें। चरण 2: (1,2,3,4,6,12) सभी (12) को पूरा-पूरा विभाजित करते हैं। चरण 3: गुणनखंडों के समुच्चय में संख्या स्वयं और (1) को न भूलें।
The two-digit primes less than (15) are (11) and (13).
Step 3
Exam Tip
Apply all conditions together, not separately. चरण 1: दो अंकीय संख्या (10) से शुरू होती है। चरण 2: (15) से छोटी दो अंकीय अभाज्य संख्याएँ (11) और (13) हैं। चरण 3: शर्तों को अलग-अलग नहीं, साथ-साथ लागू करें।
They are (10,20,30,40,50), so there are (5) elements.
Step 3
Exam Tip
When the symbol is \(\leq\), include the endpoint. चरण 1: (50) तक (10) के गुणज लिखें। चरण 2: वे (10,20,30,40,50) हैं, इसलिए कुल (5) सदस्य हैं। चरण 3: \(\leq\) चिन्ह हो तो अंतिम सीमा को शामिल करना न भूलें।
Here (x) is a natural number and \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\) is assumed.
Step 3
Exam Tip
After solving, always check whether the value belongs to the given domain. चरण 1: समीकरण (x+3=3) से (x=0) मिलता है। चरण 2: यहाँ (x) प्राकृतिक संख्या है और \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\) माना जाता है। चरण 3: हल मिलने के बाद यह जरूर जाँचें कि वह दिए गए समुच्चय में आता है या नहीं।
B. \(({x \in \mathbb{N}:x\) सम है})/\(({x \in \mathbb{N}:x\) is even})
Step 1
Concept
An infinite set has no last element.
Step 2
Why this answer is correct
Even natural numbers \(2,4,6,\ldots\) continue without end.
Step 3
Exam Tip
Do not call a set infinite if a fixed boundary is given. चरण 1: अनंत समुच्चय में सदस्यों की संख्या समाप्त नहीं होती। चरण 2: प्राकृतिक सम संख्याएँ \(2,4,6,\ldots\) लगातार चलती रहती हैं। चरण 3: सीमित सीमा वाले विकल्पों को अनंत न मानें।
C. \(({x \in \mathbb{N}:x\) अभाज्य है})/\(({x \in \mathbb{N}:x\) is prime})
Step 1
Concept
A finite set has a countable number of elements that ends.
Step 2
Why this answer is correct
Prime numbers are infinite, so this is not a finite set.
Step 3
Exam Tip
If a number set has no upper limit, check whether it may be infinite. चरण 1: सीमित समुच्चय में सदस्य गिने जा सकते हैं और संख्या समाप्त हो जाती है। चरण 2: अभाज्य संख्याएँ अनंत होती हैं, इसलिए यह सीमित समुच्चय नहीं है। चरण 3: संख्याओं के समुच्चय में सीमा न हो तो अनंत होने की संभावना देखें।
(x) is an integer, so test both positive and negative values.
Step 2
Why this answer is correct
((-3)2=9) and \(3^2=9\), so both are elements.
Step 3
Exam Tip
In square equations, the negative solution is often missed. चरण 1: (x) पूर्णांक है, इसलिए धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान जाँचें। चरण 2: ((-3)2=9) और \(3^2=9\), इसलिए दोनों सदस्य हैं। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में ऋणात्मक हल अक्सर छूट जाता है।
\(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) are all less than or equal to (25).
Step 3
Exam Tip
Keep the difference between natural numbers and integers in mind. चरण 1: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए (1) से शुरू करें। चरण 2: \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) सभी (25) से कम या बराबर हैं। चरण 3: प्राकृतिक संख्या और पूर्णांक के अंतर को ध्यान में रखें।
In \(R={\varnothing}\), the empty set itself is one element.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between \(\varnothing\) and \({\varnothing}\). चरण 1: \(\varnothing\) एक समुच्चय है। चरण 2: \(R={\varnothing}\) में वही रिक्त समुच्चय एक सदस्य के रूप में रखा गया है। चरण 3: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) को अलग-अलग समझें।
Do not accidentally include a number beyond the boundary. चरण 1: (7) के गुणज \(7,14,21,28,35,\ldots\) हैं। चरण 2: (30) से छोटी संख्याएँ (7,14,21,28) ही हैं। चरण 3: अंतिम सीमा से बड़ी संख्या को गलती से न जोड़ें।
Squares from \(1^2\) to \(7^2\) give (1,4,9,16,25,36,49).
Step 3
Exam Tip
\(8^2=64\) is outside the limit, so it is excluded. चरण 1: (50) से छोटे पूर्ण वर्ग पहचानें। चरण 2: \(1^2\) से \(7^2\) तक वर्ग (1,4,9,16,25,36,49) मिलते हैं। चरण 3: \(8^2=64\) सीमा से बाहर है, इसलिए शामिल नहीं होगा।
B. \(({x \in \mathbb{N}:x\) 3 का गुणज है और \(x\leq 12})\)/\(({x \in \mathbb{N}:x\) is a multiple of 3 and \(x\leq 12})\)
Step 1
Concept
(U) contains multiples of (3) up to (12).
Step 2
Why this answer is correct
Using \(\leq 12\) gives (3,6,9,12).
Step 3
Exam Tip
The difference between (<) and \(\leq\) can change set equality. चरण 1: (U) में (3) के गुणज (12) तक हैं। चरण 2: \(\leq 12\) लिखने पर (3,6,9,12) सभी मिलते हैं। चरण 3: सीमा में (<) और \(\leq\) का फर्क बराबरी बदल सकता है।
Because the left endpoint has \(\leq\), (-2) is included; because the right endpoint has (<), (3) is excluded. चरण 1: दिए गए पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 2: कुल (5) सदस्य हैं, इसलिए (n(V)=5)। चरण 3: बाएँ सिरे पर \(\leq\) होने से (-2) शामिल होगा और दाएँ सिरे पर (<) होने से (3) शामिल नहीं होगा।
For combined conditions, list possible elements first and then filter them. चरण 1: (18) के गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: इनमें सम सदस्य (2,6,18) हैं। चरण 3: संयुक्त शर्त में पहले सभी संभावित सदस्य लिखकर फिर छँटाई करें।
A number that is a multiple of both (4) and (6) must be a multiple of their LCM (12).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (12) less than (30) are (12) and (24).
Step 3
Exam Tip
Multiple of both does not mean combining separate lists of multiples. चरण 1: (4) और (6) दोनों का गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य (12) का गुणज होगा। चरण 2: (30) से छोटे (12) के गुणज (12) और (24) हैं। चरण 3: दोनों का गुणज का अर्थ अलग-अलग गुणजों की सूची जोड़ना नहीं है।
So it is not empty; it is a singleton set with one element.
Step 3
Exam Tip
Never treat ({0}) and \(\varnothing\) as the same. चरण 1: (Y) में (0) एक सदस्य के रूप में उपस्थित है। चरण 2: इसलिए यह रिक्त नहीं, बल्कि एक सदस्य वाला एकल समुच्चय है। चरण 3: ({0}) और \(\varnothing\) को कभी समान न मानें।
(|x|<3) means the distance of (x) from (0) is less than (3).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
In (|x|<3), (-3) and (3) are not included. चरण 1: (|x|<3) का अर्थ है (x) की दूरी (0) से (3) से कम हो। चरण 2: पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: (|x|<3) में (-3) और (3) शामिल नहीं होते।
Both endpoints have \(\leq\), so (1) and (5) are included.
Step 3
Exam Tip
In closed-boundary questions, check both endpoint values. चरण 1: (x) प्राकृतिक संख्या है और (1) से (5) तक जा सकता है। चरण 2: दोनों सिरों पर \(\leq\) है, इसलिए (1) और (5) दोनों शामिल होंगे। चरण 3: बंद सीमा वाले प्रश्नों में दोनों अंतिम मान जरूर जाँचें।
It is important to distinguish between real numbers and integers. चरण 1: (x) पूर्णांक होना चाहिए। चरण 2: (0) और (1) के बीच कोई पूर्णांक नहीं है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं और पूर्णांकों के अंतर को पहचानना जरूरी है।
There are infinitely many real numbers between (1) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
Writing only ({2,3}) does not show all real numbers.
Step 3
Exam Tip
An open interval of real numbers is usually not fully written in roster form. चरण 1: (1) और (4) के बीच असंख्य वास्तविक संख्याएँ होती हैं। चरण 2: केवल ({2,3}) लिखना सभी वास्तविक संख्याओं को नहीं दिखाता। चरण 3: वास्तविक संख्याओं के खुले अंतराल को सामान्यतः रोस्टर रूप में पूरा नहीं लिखा जाता।
When the word positive is used, do not include negative factors. चरण 1: (15) के धनात्मक गुणनखंड (1,3,5,15) हैं। चरण 2: कुल (4) सदस्य हैं। चरण 3: धनात्मक शब्द हो तो ऋणात्मक गुणनखंड शामिल न करें।
Write the solutions as separate elements of the set. चरण 1: बहुपद को ((x-2)(x-3)=0) के रूप में लिख सकते हैं। चरण 2: इससे (x=2) या (x=3) मिलता है। चरण 3: समुच्चय में हलों को अलग-अलग सदस्य के रूप में लिखें।
A. \(({x \in \mathbb{N}:x\) अभाज्य है और \(x<12})\)/\(({x \in \mathbb{N}:x\) is prime and \(x<12})\)
Step 1
Concept
The given elements are prime numbers less than (12).
Step 2
Why this answer is correct
The condition prime and (x<12) matches exactly.
Step 3
Exam Tip
Do not add unnecessary or wrong conditions in set-builder form. चरण 1: दिए गए सदस्य (12) से छोटी अभाज्य संख्याएँ हैं। चरण 2: विकल्प में (x<12) और अभाज्य दोनों शर्तें ठीक बैठती हैं। चरण 3: समुच्चय-निर्माण रूप में अनावश्यक या गलत शर्त न जोड़ें।
A number divisible by both (2) and (3) is a multiple of (6).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (6) up to (18) are (6,12,18).
Step 3
Exam Tip
Divisible by both means both conditions together, not either one. चरण 1: (2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्या (6) की गुणज होती है। चरण 2: (18) तक (6) के गुणज (6,12,18) हैं। चरण 3: दोनों से विभाज्य का अर्थ (2) या (3) से विभाज्य नहीं, बल्कि दोनों शर्तें एक साथ हैं।
Treating (1) as prime is a very common exam mistake. चरण 1: (9) के गुणनखंड (1,3,9) हैं। चरण 2: इनमें केवल (3) अभाज्य है। चरण 3: (1) को अभाज्य मानने की गलती परीक्षा में बहुत सामान्य है।
Multiples of (5) are \(5,10,15,20,\ldots\) and continue.
Step 2
Why this answer is correct
There is no last multiple, so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
If no upper limit is given, a set of multiples is usually infinite. चरण 1: (5) के गुणज \(5,10,15,20,\ldots\) चलते रहते हैं। चरण 2: कोई अंतिम गुणज नहीं है, इसलिए समुच्चय अनंत है। चरण 3: यदि कोई ऊपरी सीमा नहीं दी है तो गुणजों का समुच्चय अक्सर अनंत होगा।
(0) is considered an even number, so do not omit it. चरण 1: (-5) और (5) के बीच के पूर्णांक लिखें। चरण 2: उनमें सम पूर्णांक (-4,-2,0,2,4) हैं। चरण 3: शून्य भी सम संख्या माना जाता है, इसे न छोड़ें।
(23) and (29) are prime, while (21,25,27) are composite.
Step 3
Exam Tip
When testing primality, check divisibility by small factors. चरण 1: (20) और (30) के बीच प्राकृतिक संख्याएँ जाँचें। चरण 2: (23) और (29) अभाज्य हैं, जबकि (21,25,27) भाज्य हैं। चरण 3: अभाज्य जाँचते समय छोटे गुणनखंडों से विभाज्यता देखें।
Since the condition is \(\leq 11\), (11) is included.
Step 3
Exam Tip
When equality is included in the boundary, check the endpoint. चरण 1: (11) तक विषम प्राकृतिक संख्याएँ लिखें। चरण 2: \(\leq 11\) होने से (11) शामिल होगा। चरण 3: सीमा में बराबरी हो तो अंतिम मान को अवश्य जाँचें।
B. यह (12) सदस्यों वाला सीमित समुच्चय है/It is a finite set with (12) elements
Step 1
Concept
The names of the months in a year are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
There are (12) such names, so it is a finite set.
Step 3
Exam Tip
Everyday lists can form sets if membership is clear. चरण 1: वर्ष में महीनों के नाम निश्चित होते हैं। चरण 2: ऐसे नामों की संख्या (12) है, इसलिए यह सीमित समुच्चय है। चरण 3: रोजमर्रा की सूचियाँ भी समुच्चय बन सकती हैं, यदि सदस्यता साफ हो।
Those divisible by (2) or (5) are (2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18).
Step 3
Exam Tip
Or means satisfying at least one of the two conditions. चरण 1: (20) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ लें। चरण 2: जो (2) या (5) से विभाज्य हैं वे (2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18) हैं। चरण 3: या का अर्थ दोनों में से कोई एक शर्त पूरी होना है।
(0) is not included because it is not odd. चरण 1: (-4) से (4) तक पूर्णांक देखें। चरण 2: विषम पूर्णांक (-3,-1,1,3) हैं। चरण 3: (0) न समुच्चय में आएगा क्योंकि वह विषम नहीं है।
Algebraic solutions are (-1) and (1), but only (1) is a natural number.
Step 3
Exam Tip
When writing solutions, always check the given set. चरण 1: \(x^2-1=0\) से \(x^2=1\) मिलता है। चरण 2: बीजगणितीय हल (-1) और (1) हैं, लेकिन प्राकृतिक संख्या में केवल (1) आता है। चरण 3: हल लिखते समय प्रश्न में दिया गया समुच्चय जरूर देखें।
Therefore, the condition using \(x^3\) with \(1\leq x\leq 4\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Clearly distinguish cube patterns from square patterns. चरण 1: (1,8,27,64) क्रमशः \(1^3,2^3,3^3,4^3\) हैं। चरण 2: इसलिए \(x^3\) और \(1\leq x\leq 4\) वाली शर्त सही है। चरण 3: घन और वर्ग के पैटर्न में अंतर स्पष्ट पहचानें।
In (x>6), (6) is not included. चरण 1: (24) के गुणनखंड (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 2: इनमें (6) से बड़े सदस्य (8,12,24) हैं। चरण 3: (x>6) में (6) शामिल नहीं होता।
The squares of (-1,0,1) are (1,0,1), so these are included.
Step 3
Exam Tip
In integer square questions, do not forget (0). चरण 1: पूर्णांक (x) के लिए \(x^2\leq 1\) देखना है। चरण 2: (-1,0,1) के वर्ग क्रमशः (1,0,1) हैं, इसलिए ये शामिल हैं। चरण 3: पूर्णांक वाले वर्ग प्रश्न में (0) को भूलना नहीं चाहिए।
