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673 questions tagged with roots.
If the roots are (4) and (6), what is the product of the roots?
B. (24)
मूलों का गुणनफल \(4\cdot6=24\) है। मूलों से समीकरण बनाते समय योग और गुणनफल दोनों उपयोगी होते हैं। / The product of roots is \(4\cdot6=24\). Sum and product are both useful while forming an equation from roots.
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If (x=2) and (x=-3) are roots of a quadratic equation, what is the sum of the roots?
B. (-1)
मूलों का योग (2+(-3)=-1) है। अलग-अलग चिन्ह वाले पूर्णांकों को जोड़ते समय बड़े परिमाण का चिन्ह लें। / The sum of roots is (2+(-3)=-1). When adding integers with unlike signs, take the sign of the larger magnitude.
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What are the roots of \(9x^2-25=0\)?
A. \(x=\pm \frac{5}{3}\)
\(9x^2=25\), इसलिए \(x^2=\frac{25}{9}\) और \(x=\pm \frac{5}{3}\)। वर्गमूल लेते समय दोनों चिन्ह लें। / \(9x^2=25\), so \(x^2=\frac{25}{9}\) and \(x=\pm \frac{5}{3}\). Take both signs while taking square roots.
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What are the roots of \(x^2-8x=0\)?
A. (0,8)
(x-2-8x=x(x-8)), इसलिए मूल (0) और (8) हैं। समान गुणनखंड बाहर निकालना आसान तरीका है। / (x-2-8x=x(x-8)), so the roots are (0) and (8). Taking the common factor is an easy method.
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If the roots are (-2) and (5), what will be the monic quadratic equation?
A. \(x^2-3x-10=0\)
गुणनखंड ((x+2)) और ((x-5)) होंगे, जिनसे \(x^2-3x-10=0\) मिलता है। मूल के विपरीत चिन्ह वाले गुणनखंड बनाएं। / The factors are ((x+2)) and ((x-5)), giving \(x^2-3x-10=0\). Make factors with signs opposite to the roots.
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Which option has roots (x=1) and (x=4)?
A. \(x^2-5x+4=0\)
मूल (1) और (4) हों तो गुणनखंड ((x-1)) और ((x-4)) होंगे। इनका गुणन \(x^2-5x+4=0\) देता है। / If the roots are (1) and (4), the factors are ((x-1)) and ((x-4)). Their product gives \(x^2-5x+4=0\).
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Which quadratic equation has roots (0) and (-3)?
A. \(x^2+3x=0\)
मूल (0) और (-3) होने पर गुणनखंड (x) और (x+3) होंगे। इसलिए समीकरण (x(x+3)=0) यानी \(x^2+3x=0\) है। / For roots (0) and (-3), the factors are (x) and (x+3). So the equation is (x(x+3)=0), that is \(x^2+3x=0\).
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What are the roots of \(x^2=9\)?
C. (-3,3)
\(x^2=9\) से \(x=\pm3\) मिलता है। वर्गमूल लेते समय धन और ऋण दोनों मान लें। / From \(x^2=9\), we get \(x=\pm3\). While taking square roots, take both positive and negative values.
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If the discriminant (D>0) for a quadratic equation, how will the roots be?
A. दो भिन्न वास्तविक मूलTwo distinct real roots
(D>0) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। विवेचक का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / When (D>0), the equation has two distinct real roots. The sign of the discriminant tells the nature of roots.
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What is the maximum number of roots of a quadratic equation?
B. (2)
द्विघात समीकरण की घात (2) होती है इसलिए अधिकतम (2) मूल हो सकते हैं। घात और अधिकतम मूल की संख्या को जोड़कर याद रखें। / A quadratic equation has degree (2), so it can have at most (2) roots. Remember degree and maximum number of roots together.
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A. x=9 शून्यक हैx=9 is a zero
बिंदु \\((9,0)\\) x-अक्ष पर है, अतः बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है। यदि ग्राफ किसी बहुपद p(x) का है तो \\((p(9)=0)\\) होगा — इसका अर्थ है कि x=9 उस बहुपद का शून्यक (root) है। प्रश्न में ऊपर से नीचे क्रॉस होना संकेत देता है कि बहुपद का मान उस बिंदु पर साइन बदलता है (positive से negative) — यह केवल x-अक्ष पर मौजूद सामान्य बिंदु होने का बयान (विकल्प D) गलत ठहराता है; विकल्प C भी गलत है क्योंकि वहाँ y=0 होना चाहिए न कि 9। परीक्षा-टिप: किसी भी बिंदु के शून्यक होने की जाँच के लिए बिंदु का y-निर्देशांक देखें — यदि y=0 तो संबंधित x मान root है। / The point \\((9,0)\\) lies on the x-axis, so its y-coordinate is zero. For a graph of a polynomial p(x), this means \\((p(9)=0)\\) — therefore x=9 is a root (zero) of the polynomial. The fact that the curve goes from above to below shows a sign change at x=9 (crossing the axis). Option D is wrong because a point on the x-axis with y=0 is by definition a zero; option C is wrong because it asserts p(9)=9 whereas the y-value is 0. Exam tip: always check the y-coordinate — if y=0 the corresponding x is a zero of the polynomial.
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If the graph of a polynomial intersects the x-axis at \((2.5,0)\), what is the corresponding zero?
A. 2.5
शून्यक (zero) वह x‑मान होता है जहाँ फंक्शन का मान शून्य होता है। x‑अक्ष पर कटने का बिंदु \((2.5,0)\) बताता है कि f(2.5)=0, अतः शून्यक संख्या \(2.5\) है। विकल्प B बिंदु है न कि शून्यक; विकल्प C केवल y‑मान (0) है; विकल्प D में निर्देशांक उल्टे हैं। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर इंटरसेप्ट का पहले घटक ही शून्यक होता है — यानी अगर बिंदु \((a,0)\) है तो शून्यक \(a\) है। / A zero of a polynomial is the x‑value where the function equals zero. The intercept \((2.5,0)\) means \(f(2.5)=0\), so the zero is the number \(2.5\). Option B is the coordinate point (not the numerical root); C is the y‑value 0; D has the coordinates reversed. Exam tip: when the graph meets the x‑axis at \((a,0)\), the zero (root) is the x‑coordinate \(a\).
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At which x-values will the graph of \(p(x)=x^2+2x-15\) cut the x-axis?
A. 3 और -53 and -5
x-अक्ष पर कटान के लिए p(x)=0 होना चाहिए। \(x^2+2x-15\) को गुणनखंडों में बाँटने पर \(x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\) मिलता है। इसलिए \(x+5=0\) से \(x=-5\) तथा \(x-3=0\) से \(x=3\)। अतः x-अक्ष को काटने के मान 3 और -5 हैं। निकटतम भ्रम (जैसे विकल्प B) में चिह्न उल्टा लिया गया है (3 को -3 समझना या -5 को 5 मानना) — इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: गुणनखंड न बन रहा हो तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें और जाँच के लिए मूलों का योग \((-b/a)\) और गुणन \(c/a\) से सत्यापित कर लें (यहाँ sum = -2 और product = -15)। / x-intercepts occur where p(x)=0. Factorizing \(x^2+2x-15\) gives \((x+5)(x-3)\). Setting each factor to zero yields \(x=-5\) and \(x=3\), so the graph cuts the x-axis at 3 and -5. A common distractor (option B) flips signs (e.g. taking 3 as -3 or -5 as 5), which is incorrect. Exam tip: if factorisation is unclear, use the quadratic formula and verify roots quickly by checking sum = -b/a and product = c/a (here sum = -2, product = -15).
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A. दोनों \(0\) होंगेBoth are \(0\)
जब किसी बहुपद का ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मान \(y\) (अर्थात \(p(x)\)) शून्य होता है। अतः यदि ग्राफ \(x\)-अक्ष को \(a\) और \(b\) पर काट रहा है तो \(p(a)=0\) और \(p(b)=0\)। निकटतम भ्रान्तिकर विकल्प C (एक शून्य और एक गैर-शून्य) इसलिए गलत है क्योंकि किसी कटने के बिंदु पर मान शून्य होना अनिवार्य है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि शून्य का कोई सकारात्मक/नकारात्मक चिह्न नहीं होता। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर मिलने का मतलब सीधे याद रखें — \(y=0\) या \(p(x)=0\)। / When the graph of a polynomial meets the \(x\)-axis at a point, the polynomial's value \(y=p(x)\) at that point is zero. Therefore if the graph cuts the \(x\)-axis at \(a\) and \(b\), we have \(p(a)=0\) and \(p(b)=0\). The closest distractor C (one zero and one non-zero) is wrong because intersection points on the x‑axis must give \(p(x)=0\). Option D is also incorrect since zero has no sign (it is neither positive nor negative). Exam tip: intersection with the x‑axis always means \(y=0\) or \(p(x)=0\).
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In which situation will \(x=3\) be called a zero of the polynomial \(p(x)\)?
A. जब \(p(3)=0\) होWhen \(p(3)=0\)
शून्यक (root) उस x‑मान को कहते हैं जिस पर बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए यदि \(p(3)=0\) है तो \(x=3\) बहुपद का शून्यक है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि: \(p(0)=3\) में \(x=3\) का परीक्षण ही नहीं है; ग्राफ यदि \((0,3)\) से गुजरता है तो वह y‑अक्ष पर बिंदु (0,3) दर्शाता है, न कि x‑अक्ष पर शून्य; और \(p(3)=3\) में मान शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी कथित शून्य के लिए सीधे बहुपद में वह x‑मान रखकर मान जांचें (p(a) देखें)। / A zero (root) is an x‑value at which the polynomial evaluates to zero. So if \(p(3)=0\), then \(x=3\) is a zero of \(p(x)\). The other choices are wrong: \(p(0)=3\) checks the value at x=0, not at x=3; passing through \((0,3)\) is a y‑intercept, not an x‑intercept (root); and \(p(3)=3\) gives a nonzero value. Exam tip: to verify if \(x=a\) is a root compute \(p(a)\) and check if it equals 0.
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If the graph of a polynomial crosses the x-axis at the point (0,0), which conclusion is certain?
A. \(x=0\) बहुपद का शून्यक है\(x=0\) is a zero of the polynomial
यदि ग्राफ बिंदु (0,0) पर x-अक्ष को काटता है तो बहुपद p(x) के लिए p(0)=0 होगा, अतः \(x=0\) निश्चित रूप से एक शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि डिग्री \(0\) होने का मतलब स्थिर (constant) बहुपद p(x)=c (जहाँ c≠0) है जो x-अक्ष को नहीं काटेगा; शून्य बहुपद p(x)=0 की डिग्री परिभाषित नहीं मानी जाती। विकल्प C गलत है क्योंकि केवल यह सुनिश्चित होता है कि 0 एक शून्यक है, पर यह नहीं बताता कि अन्य सभी शून्यक भी 0 हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि किसी बहुपद का ग्राफ फ़ंक्शन होता है और यह y-अक्ष के समानांतर (vertical line) नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: किसी बिंदु \((a,0)\) पर x-अक्ष को काटना हमेशा दर्शाता है कि \(p(a)=0\)। / If the graph meets the x-axis at (0,0) then for the polynomial p(x) we have p(0)=0, so \(x=0\) is certainly a root. Option B is false because degree 0 means a nonzero constant p(x)=c (c≠0), which cannot cross the x-axis; the zero polynomial is a special case whose degree is not regarded as 0. Option C is false because only one root (0) is guaranteed, not that every root equals 0. Option D is false because a graph parallel to the y-axis would not represent a function of x (and cannot be the graph of a polynomial). Exam tip: whenever the graph crosses x-axis at \((a,0)\), immediately conclude \(p(a)=0\).
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A. {-4, 1, 6}
x-प्रतिच्छेद वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ y=0 होता है; इसलिए शून्यक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक होते हैं। दिए गए बिंदु (-4,0), (1,0) और (6,0) के x-निर्देशांक क्रमशः -4, 1 और 6 हैं, अतः शून्यकों का समुच्चय {-4, 1, 6} है। विकल्प B, C और D में 0 शामिल है जो y-निर्देशांक है, न कि x-शून्यक; इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: शून्यकों को समुच्चय के रूप में लिखें और द्विघात/बहुपद में समान शून्यक की बारम्बारता (multiplicity) पर ध्यान दें। / The x-intercepts occur where y=0, so the zeroes are the x-coordinates of those intercepts. From (-4,0), (1,0) and (6,0) the x-values are -4, 1 and 6, hence the zero set is {-4, 1, 6}. Options B, C and D wrongly include 0 (a y-coordinate) instead of the x-value -4, so they are incorrect. Exam tip: list roots as a set (order doesn't matter) and check for repeated roots (multiplicity) if a point repeats or the graph merely touches the x-axis.
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A. वह बिंदु बहुपद का शून्यक है और उसकी बहुगुण्यता सम (even multiplicity) हैThat point is a zero of the polynomial with even multiplicity (touching root)
जब ग्राफ x-अक्ष को केवल छूता है तो उस बिंदु पर बहुपद का मान y = 0 होता है और आस-पास के x के लिए फलन का चिह्न नहीं बदलता। यह व्यवहार तभी होता है जब वह शून्यक की बहुगुण्यता सम (even) हो — उदाहरण के लिए बहुगुण्यता 2 पर ग्राफ स्पर्श करके लौटता है। विकल्प B गलत है क्योंकि छूने का अर्थ है y=0 होना, केवल 'करीब' होना नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि विषम बहुगुण्यता पर ग्राफ अक्ष को काटकर पार कर जाएगा (चिह्न बदलता है)। विकल्प D भी गलत है — एक स्थिर बहुपद (degree 0) x-अक्ष को छू कर लौटने जैसा सामान्य व्यवहार नहीं देता सिवाय शून्य बहुपद के, जो विशेष स्थिति है। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर स्पर्श करते समय सबसे पहले शून्यक की बहुगुण्यता (multiplicity) देखें — सम होने पर स्पर्श, विषम होने पर कटना। / If the curve merely touches the x-axis at a point, the function value there is y=0 and the sign of the polynomial does not change on either side of the point. That occurs when the root has even multiplicity (e.g. multiplicity 2), so the graph is tangent to the axis. Option B is wrong because touching means the value is exactly zero, not just near zero. Option C is wrong because an odd-multiplicity root causes a sign change and the graph crosses the axis. Option D is incorrect — a degree‑0 polynomial is constant and does not produce a typical touch‑and‑return x‑intercept except in the degenerate zero polynomial case. Exam tip: determine the multiplicity of the root — even multiplicity gives touch (tangent), odd multiplicity gives crossing.
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B. तीनThree
शून्यक (root) वह मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी \(p(a)=0\)। यहाँ \(p(-12)=0,\; p(4)=0,\; p(15)=0\) हैं, इसलिए \(-12,\;4,\;15\) शून्यक हैं। \(p(-2)=6\) शून्य नहीं है क्योंकि मान शून्य नहीं है। नज़दीकी भ्रमणकर्ता: "चार" तब गलत होगा जब किसी एक मान का मान शून्य न हो — यहाँ केवल तीन शून्यक हैं। टिप: परीक्षा में किसी भी मान को शून्य मानने से पहले हमेशा \(p(x)=0\) की शर्त जाँचें। / A zero (root) of a polynomial is an x-value where the polynomial equals zero, i.e. \(p(a)=0\). Given \(p(-12)=0,\; p(4)=0,\; p(15)=0\), the values \(-12,\;4,\;15\) are roots. \(p(-2)=6\) is not a root because its value is 6, not 0. Closest distractor: "four" is incorrect because one of the four given values does not satisfy \(p(x)=0\). Exam tip: always check the actual value of \(p(x)\) — only those equal to 0 are roots.
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B. तीनThree
एक मान \(x_0\) तभी शून्यक होता है जब \(p(x_0)=0\)। यहाँ \(p(-10)=0,\; p(3)=0,\; p(12)=0\) हैं, इसलिए \(-10,\;3,\;12\) तीन शून्यक हैं। \(p(-1)=4\) शून्य नहीं है इसलिए उसे गिना नहीं जाएगा। परीक्षा सुझाव: प्रत्येक दिए गए मान पर सीधे \(p(x)\) की मान जाँचें — केवल वही मान शून्यक होंगे जिनके लिए \(p(x)=0\) हो। / A value \(x_0\) is a zero (root) of the polynomial only if \(p(x_0)=0\). Here \(p(-10)=0,\; p(3)=0,\; p(12)=0\), so the three values \(-10,\;3,\;12\) are zeros. Since \(p(-1)=4\ne0\), \(-1\) is not a zero. Exam tip: check each given x by evaluating \(p(x)\); count only those with value 0 — do not assume values that are nonzero are roots.
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If \(p(x)=25x^2-36\), what are the x-axis intersections of its graph?
A. \(\left(\frac{6}{5},0\right)\) and \(\left(-\frac{6}{5},0\right)\)
x-अक्ष पर कट बिंदु बहुपद के शून्य होते हैं, अत: \(p(x)=0\) रखें: \(25x^2-36=0\). यह \((5x)^2-6^2=0\) है, यानी \((5x-6)(5x+6)=0\). इसलिए \(x=\pm\dfrac{6}{5}\)। विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ \(\sqrt{25}=5\) को न लेकर केवल \(\sqrt{36}=6\) लिया गया (फलस्वरूप 6 के बजाय 6/5 होना चाहिए)। परीक्षा टिप: अंतर के वर्ग के रूप में फैक्टर करें: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)। / x-axis intersections are the zeros of the polynomial, so set \(p(x)=0:\) \(25x^2-36=0\). Write as \((5x)^2-6^2=0\), hence \((5x-6)(5x+6)=0\) and \(x=\pm\dfrac{6}{5}\). Option B is a common mistake — forgetting \(\sqrt{25}=5\) yields 6 instead of \(6/5\). Exam tip: recognize and factor a difference of squares quickly: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
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B. तीनThree
शून्यक की परिभाषा: किसी बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान है जिसके लिए \(p(x)=0\) होता है। यहाँ \(p(-9)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(6)=0\) हैं, अतः तीन शून्यक हैं। \(p(-4)=2\) शून्य नहीं है इसलिए इसे गिनना गलत होगा। नज़दीकी गलती: कुछ विद्यार्थी केवल दो शून्यक गिन सकते हैं यदि वे किसी एक को मिस कर दें; चार चुनने वाले ने संभवतः \(p(-4)=2\) को भी शून्य समझ लिया। परीक्षा टिप: हर दिए हुए बिंदु पर सीधे \(p(x)\) का मान जांचें — केवल तभी उसे शून्यक मानें जब वह ठीक-ठीक \(0\) हो। / Definition: an x-value is a zero (root) of a polynomial when \(p(x)=0\). Here \(p(-9)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(6)=0\), so there are three zeros. Since \(p(-4)=2\) (not zero), it must not be counted. Closest distractor: choosing two usually means one zero was overlooked; choosing four means incorrectly counting \(x=-4\). Exam tip: always check the given \(p(x)\) values and count only those equal to \(0\).
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B. \(0\)
x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के x-निर्देशांक वही बहुपद के शून्यक होते हैं, इसलिए शून्यक \(0\) और \(d\) हैं। उनका गुणनफल \(0\times d=0\)। नज़दीकी विचलन: \(d\) गलत है क्योंकि एक शून्यक 0 है; \(d^2\) तब ही सही होता यदि दोनों शून्यक \(d\) होते; \(-d\) साइन की त्रुटि है। परीक्षा-टिप: यदि शून्यकों में \(0\) शामिल हो तो कुल गुणनफल अवश्य \(0\) होगा। / The x-coordinates of x-axis intersections are the polynomial's zeroes, so the zeroes are \(0\) and \(d\). Their product is \(0\times d=0\). Closest distractors: \(d\) is wrong because one factor is zero; \(d^2\) would be correct only if both zeroes were \(d\); \(-d\) is incorrect due to sign. Exam tip: if one root is \(0\), the product of roots is always \(0\).
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A. (0) शून्यक है क्योंकि बिंदु x-अक्ष पर भी है(0) is a zero because the point also lies on the x-axis
किसी बहुपद y = p(x) का शून्यक वह x‑मान है जिसके लिए p(x)=0, यानी ग्राफ़ x-अक्ष (y=0) को छूता या काटता है। बिंदु (0,0) पर y का मान 0 है, अतः p(0)=0 और x=0 बहुपद का शून्यक है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि (0,0) में y=0 होने से स्पष्ट रूप से p(0)=0 मिलता है; इसे केवल y‑कटान मानने या निष्कर्ष न निकाले जाने का तर्क गलत है। परीक्षा टिप: किसी दिए बिंदु को देखकर सीधे उसके y‑निर्देशांक की जाँच करें — यदि y=0 है तो उसका x शून्यक है। / A zero (root) of a polynomial y = p(x) is an x-value for which p(x)=0, i.e. a point on the x-axis (y=0). The point (0,0) has y=0, so p(0)=0 and x=0 is a root. Options B and C are incorrect because the origin being on the graph directly gives p(0)=0; it is not merely a y‑intercept that excludes being a root nor is it inconclusive. Exam tip: check the y‑coordinate of the intersection — if y=0, the corresponding x is a root (here x=0).
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B. तीनThree
शून्यक वह \(x\)-मान है जिसके लिए फलन का मान \(0\) हो। यहाँ \(p(-7)=0\), \(p(1)=0\) और \(p(4)=0\) हैं — यह तीन भिन्न \(x\)-मान हैं जिन पर फलन शून्य है। \(p(-3)=2\) शून्य नहीं है इसलिए गिना नहीं जाएगा। परीक्षा टिप: हमेशा जांचें कि दिए गए \(p(x)\) का मान 0 है या नहीं; केवल \(x\) का मान 0 होना आवश्यक नहीं है। / A zero (root) is an \(x\)-value where the function value equals \(0\). Here \(p(-7)=0\), \(p(1)=0\) and \(p(4)=0\), so three distinct \(x\)-values are zeros. Since \(p(-3)=2\) is not zero, it is not counted. Exam tip: verify \(p(x)=0\) explicitly — do not confuse an \(x\)-value with the function value being zero unless given.
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If \(p(x)=x^2-(m+n)x+mn\), where will its graph intersect the x-axis?
A. \((m,0)\) और \((n,0)\)\((m,0)\) and \((n,0)\)
\(p(x)=x^2-(m+n)x+mn\) को गुणनखंडों में लिखें: \(p(x)=(x-m)(x-n)\). इसलिए शून्यविकल्प (roots) \(x=m\) और \(x=n\) हैं। ग्राफ x-अक्ष पर तब कटता है जब \(y=p(x)=0\), अतः काटने के बिंदु \((m,0)\) और \((n,0)\) होंगे। निकटतम भ्रमित विकल्प \((-m,0)\) और \((-n,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि संकेत उल्टा है; \((0,m)\) जैसे विकल्प y-अक्ष के बिंदु बताते हैं और वे यहाँ लागू नहीं होते। परीक्षा टिप: बहुपद को हमेशा गुणनखंडों में लिखकर शून्य निकालें और उत्तर को बिंदु के रूप में \(( ext{root},0)\) लिखें। / Factorize: \(p(x)=x^2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n)\). So the zeros are \(x=m\) and \(x=n\). The graph meets the x-axis where \(p(x)=0\), i.e. at points \((m,0)\) and \((n,0)\). The distractor with \((-m,0)\) and \((-n,0)\) is wrong because the signs of the roots are reversed; \((0,m)\)-type choices refer to y-axis points and are irrelevant here. Exam tip: always factor the quadratic (or substitute candidate roots) and report x-intercepts as \(( ext{root},0)\).
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If \(p(x)=-(x-1)(x+4)\), what are the real zeros of the polynomial?
A. (1) और (-4)(1) and (-4)
बहुपद के शून्यक वे मान हैं जिनपर बहुपद शून्य हो जाता है। गुणनखंड रूप \((x-1)(x+4)\) में शून्य प्राप्त करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य रखें: \(x-1=0\) से \(x=1\), और \(x+4=0\) से \(x=-4\)। बाहरी ऋण चिह्न केवल संपूर्ण मान बदलता है, शून्यक नहीं। करीबी ध्रुवीकरण (option B) गलत है क्योंकि वहाँ चिन्ह उल्टे कर दिए गए हैं। टिप: किसी बहुपद में किसी भी गैर‑शून्य समिश्र गुणांक (जैसे −1) से शून्यक प्रभावित नहीं होते—हर गुणनखंड को शून्य मानकर जड़ों को खोजें। / Zeros are values of x that make the polynomial equal to zero. From the factor form \((x-1)(x+4)\) set each factor to zero: \(x-1=0\) gives \(x=1\), and \(x+4=0\) gives \(x=-4\). The leading negative sign only multiplies the polynomial and does not change its roots. The closest distractor (option B) merely has the signs swapped, so it is incorrect. Exam tip: multiplying the polynomial by any nonzero constant does not change its zeros—solve each factor = 0 to find roots.
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A. -3
शून्यक वे x-मान होते हैं जिनके लिए p(x)=0 होता है। तालिका में p(-1)=0 और p(3)=0 दिये हैं, अतः शून्यक \\(-1\\) और \\(3\\) हैं। इनका गुणनफल \\((-1)\\times(3)= -3\\) होगा। विकल्प B (3) गलत है क्योंकि वहाँ चिह्न का ध्यान नहीं रखा गया; विकल्प C (0) तब ही सही होता यदि किसी शून्यक का मान 0 होता, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: केवल उन x-मूल्यों को लें जिनके लिए p(x)=0 लिखा हो। / Zeros are the x-values where p(x)=0. From the table p(-1)=0 and p(3)=0, so the zeros are \(-1\) and \(3\). Their product is \((-1)\times(3) = -3\). Option B (3) is incorrect because it ignores the negative sign of \(-1\); option C (0) would be correct only if one of the zeros were 0, which is not the case here. Exam tip: consider only x-values that satisfy p(x)=0 when identifying zeros.
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B. दोTwo
ग्राफ़ का किसी बिंदु पर कटना यानी वह बिंदु \\((p(x)=0)\\) का वास्तविक शून्यक है और उस शून्यक की घनत्व (multiplicity) सम संख्या नहीं (odd) होगी। स्पर्श होने का मतलब है कि शून्यक की घनत्व सम संख्या (even) है। यहाँ कटना x=1 और स्पर्श x=6 दो अलग x‑मान दे रहे हैं, इसलिए कुल अलग वास्तविक शून्यक 2 हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प 'तीन' इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श की सम घनत्व से अतिरिक्त भिन्न x‑मान नहीं बनते—वे वही x‑मान दोहराते हैं। परीक्षा टिप: अलग वास्तविक शून्यक गिनते समय केवल अलग x‑मान गिनें; multiplicity से फर्क नहीं पड़ता। / A crossing at a point means the polynomial has a zero there (\\((p(x)=0)\\)) with odd multiplicity; a touch means a zero with even multiplicity. Crossing at x=1 and touching at x=6 are two distinct x‑values, so there are 2 distinct real zeros. The common mistake is to count multiplicities (which could give a larger total count); multiplicity does not change the number of distinct zeros. Exam tip: count distinct x‑values where \\((p(x)=0)\\) rather than multiplicities.
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If \(p(1)<0\), \(p(2)=0\), and \(p(3)>0\), which of the following points lies on the x-axis?
B. \((2,0)\)
यदि किसी बहुपद का मान \(p(a)=0\) है तो बिंदु \((a,0)\) x-अक्ष पर होता है क्योंकि x-अक्ष पर y‑समन = 0 होता है। यहाँ केवल \(p(2)=0\) दिया है, अतः \((2,0)\) x-अक्ष पर है। \(p(1)<0\) और \(p(3)>0\) केवल फलन के संकेत (negative/positive) दर्शाते हैं, वे शून्य नहीं हैं; इसलिए \((1,0)\) या \((3,0)\) सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: कोई बिंदु x-अक्ष पर तभी होगा जब उस x‑मान पर फलन का मान शून्य हो। / A point \((a,0)\) lies on the x-axis exactly when the polynomial satisfies \(p(a)=0\) (y = 0). Here only \(p(2)=0\), so \((2,0)\) is the x-intercept. The facts \(p(1)<0\) and \(p(3)>0\) give signs of the function (negative/positive) but are not zeros, so \((1,0)\) and \((3,0)\) are incorrect. Quick exam tip: check for equality to zero to identify x-axis points, not inequalities.
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