Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दोनों पक्षों को (3x) से गुणा करने पर \(3+3x^2=10x\), यानी \(3x^2-10x+3=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (3x) gives \(3+3x^2=10x\), that is \(3x^2-10x+3=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
\(y^2-10y+9=0\) से (y=1,9), इसलिए \(x^2=1,9\) और \(x=\pm1,\pm3\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-10y+9=0\), (y=1,9), so \(x^2=1,9\) and \(x=\pm1,\pm3\). In exams, do not forget to return to (x).
क्योंकि (x-4=\(x^2\)2=y-2), इसलिए नया समीकरण \(y^2-10y+9=0\) है। परीक्षा में प्रतिस्थापन कठिन रूप को सरल बना सकता है। / Since (x-4=\(x^2\)2=y-2), the new equation is \(y^2-10y+9=0\). In exams, substitution can simplify a difficult form.
पूरे समीकरण को (9) से भाग देने पर (x-2-(r+s)x+rs=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाने से हल आसान होता है। / Dividing the whole equation by (9) gives (x-2-(r+s)x+rs=0). In exams, removing the common factor first makes solving easier.
यह ((x-p)2-q-2=0) है, इसलिए \(x-p=\pm q\) और \(x=p\pm q\) हैं। परीक्षा में वर्गों के अंतर को पहचानें। / It is ((x-p)2-q-2=0), so \(x-p=\pm q\) and \(x=p\pm q\). In exams, recognize the difference of squares.
यह समीकरण ((x-m)(x-n)=0) के बराबर है, इसलिए मूल (m) और (n) हैं। परीक्षा में प्रतीकात्मक गुणनखंडों पर भी वही नियम लागू होता है। / The equation is equivalent to ((x-m)(x-n)=0), so the roots are (m) and (n). In exams, the same rule applies to symbolic factors.
(\(x-\sqrt{5}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{5}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{5}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{5}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
क्योंकि (5=\(\sqrt{5}\)2) और मध्य पद \(-2\sqrt{5}x\) है, इसलिए यह (\(x-\sqrt{5}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (5=\(\sqrt{5}\)2) and the middle term is \(-2\sqrt{5}x\), it is (\(x-\sqrt{5}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
(3x-2+x-2=(3x-2)(x+1)), इसलिए \(x=\frac{2}{3},-1\) सही है। परीक्षा में गुणनखंडों से संकेत सावधानी से बदलें। / (3x-2+x-2=(3x-2)(x+1)), so \(x=\frac{2}{3},-1\) is correct. In exams, change signs carefully from factors.
दूसरा मूल (5) है, इसलिए \(q=4\times5=20\) होगा। परीक्षा में (c) मूलों के गुणनफल के बराबर होता है जब (a=1)। / The other root is (5), so \(q=4\times5=20\). In exams, (c) equals the product of roots when (a=1).
मूलों का योग (9) है, इसलिए दूसरा मूल (9-4=5) होगा। परीक्षा में एक मूल दिया हो तो योग का प्रयोग करें। / The sum of roots is (9), so the other root is (9-4=5). In exams, use the sum when one root is given.
पहले समीकरण के मूल \(2,\frac{4}{3}\) और दूसरे के मूल (2,1) हैं। परीक्षा में समान मूल के लिए दोनों समीकरण अलग-अलग हल करें। / The roots of the first equation are \(2,\frac{4}{3}\), and the roots of the second are (2,1). In exams, solve both equations separately for the common root.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (196-4m=0) से (m=49) है। परीक्षा में समान मूल का मतलब (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (196-4m=0) gives (m=49). In exams, equal roots mean (D=0).
(5x-2-18x+9=(5x-3)(x-3)), इसलिए मूल \(\frac{3}{5}\) और (3) हैं। परीक्षा में गुणनखंड विधि से उत्तर जल्दी जांचें। / (5x-2-18x+9=(5x-3)(x-3)), so the roots are \(\frac{3}{5}\) and (3). In exams, verify the answer quickly by factorisation.
पहले \(x^2-\frac{18}{5}x+\frac{9}{5}=0\) बनता है, फिर (\left\(x-\frac{9}{5}\right\)2=\frac{36}{25}) मिलता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2-\frac{18}{5}x+\frac{9}{5}=0\) is obtained, then (\left\(x-\frac{9}{5}\right\)2=\frac{36}{25}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
मूलों का योग (4) है और \(\frac{p+2}{3}=4\), इसलिए (p=10) है। परीक्षा में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) से निकालें। / The sum of roots is (4), and \(\frac{p+2}{3}=4\), so (p=10). In exams, find the sum of roots using \(-\frac{b}{a}\).
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (4(k-1)2-4\(k^2-4\)=0) से (-2k+5=0) मिलता है। परीक्षा में पैरामीटर वाले प्रश्नों में (D) को सावधानी से फैलाएं। / For equal roots, (D=0), so (4(k-1)2-4\(k^2-4\)=0) gives (-2k+5=0). In exams, expand (D) carefully in parameter questions.
(15x-2+16x+4=(3x+2)(5x+2)), इसलिए मूल \(-\frac{2}{3}\) और \(-\frac{2}{5}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों को सरल रूप में लिखें। / (15x-2+16x+4=(3x+2)(5x+2)), so the roots are \(-\frac{2}{3}\) and \(-\frac{2}{5}\). In exams, write fractional roots in simplest form.
यहां (ac=60) और (10+6=16), इसलिए (16x) को (10x+6x) में तोड़ते हैं। परीक्षा में योग (b) और गुणनफल (ac) दोनों जांचें। / Here (ac=60) and (10+6=16), so (16x) is split as (10x+6x). In exams, check both sum (b) and product (ac).
(8x-2-14x+3=(4x-1)(2x-3)), इसलिए मूल \(\frac{1}{4}\) और \(\frac{3}{2}\) हैं। परीक्षा में रैखिक गुणनखंडों को अलग-अलग शून्य रखें। / (8x-2-14x+3=(4x-1)(2x-3)), so the roots are \(\frac{1}{4}\) and \(\frac{3}{2}\). In exams, set each linear factor equal to zero.
((x+2)2=\frac{7}{2}), इसलिए \(x=-2\pm\sqrt{\frac{7}{2}}=-2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल रूप में लिखें। / Since ((x+2)2=\frac{7}{2}), \(x=-2\pm\sqrt{\frac{7}{2}}=-2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\). In exams, write the square root in simplified form.
पहले \(x^2+4x+\frac{1}{2}=0\) मिलता है, फिर (4) जोड़ने पर ((x+2)2=\frac{7}{2}) बनता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2+4x+\frac{1}{2}=0\) is obtained, then adding (4) gives ((x+2)2=\frac{7}{2}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
यहां (D=(-7)2-4(1)(4)=33), इसलिए \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-7)2-4(1)(4)=33), so \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
((x-2)(x-5)=x-2-7x+10), इसलिए \(x^2-7x+10=6\) से \(x^2-7x+4=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10), so \(x^2-7x+10=6\) gives \(x^2-7x+4=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
(m=0) रखने पर ((x-2)(x-5)=0), इसलिए (x=2) या (x=5) है। परीक्षा में शून्य गुणनफल नियम सीधे लगाएं। / Putting (m=0) gives ((x-2)(x-5)=0), so (x=2) or (x=5). In exams, apply zero product rule directly.
(D=4(k+2)2-4k-2=0) से ((k+2)2=k-2), इसलिए (4k+4=0) और (k=-1) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+2)2-4k-2=0) gives ((k+2)2=k-2), so (4k+4=0) and (k=-1). In exams, expand squares carefully.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\), इसलिए मान \(\frac{64-30}{15}=\frac{34}{15}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\), so the value is \(\frac{64-30}{15}=\frac{34}{15}\). In exams, convert expressions into sum and product.
मूल (1,5) हैं, इसलिए नए मूल (2,6) होंगे और समीकरण ((x-2)(x-6)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (1,5), so new roots are (2,6), and the equation is ((x-2)(x-6)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
(2x-2-4x+5=2(x-1)2+3), इसलिए यह वास्तविक (x) के लिए शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी no real roots दिखता है। / (2x-2-4x+5=2(x-1)2+3), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows no real roots.
यहां (D=(-4)2-4(2)(5)=-24<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ no real roots है। / Here (D=(-4)2-4(2)(5)=-24<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
