Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
अंतर का वर्ग \(D/a^2=5\) है, इसलिए अंतर \(\sqrt{5}\) होगा। परीक्षा में मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) से मिलता है। / The square of the difference is \(D/a^2=5\), so the difference is \(\sqrt{5}\). In exams, the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\).
\(\frac{9}{\sqrt{2}}\) को सरल करने पर \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\) मिलता है। परीक्षा में हर को परिमेय बनाना न भूलें। / \(\frac{9}{\sqrt{2}}\) simplifies to \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\). In exams, do not forget to rationalize the denominator.
मूलों को (-r) और (-2r) मानें, तो \(2r^2=9\) और योग (-3r) है, इसलिए \(p=3r=3\sqrt{\frac{9}{2}}\) नहीं बल्कि \(r=\frac{3}{\sqrt{2}}\), अतः \(p=\frac{9}{\sqrt{2}}\) होता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में मानकर समीकरण बनाएं। / Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=9\) and the sum is (-3r), so \(p=3r=\frac{9}{\sqrt{2}}\). In exams, assume the roots and form equations carefully.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-8\), इसलिए मान (-16) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-8\), so the value is (-16). In exams, factor the expression first.
\(x^2+4x=-1\) में (4) जोड़ने पर ((x+2)2=3) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें। / Adding (4) to \(x^2+4x=-1\) gives ((x+2)2=3). In exams, add the same number to both sides.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (16-4n>0) और (n<4) है। परीक्षा में (D>0) को distinct roots से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (16-4n>0) and (n<4). In exams, connect (D>0) with distinct roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (16-4n<0) और (n>4) है। परीक्षा में (D<0) को no real roots से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (16-4n<0) and (n>4). In exams, connect (D<0) with no real roots.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{9}{2}\right\)2-8=\frac{65}{4}) है। परीक्षा में अंतर का वर्ग सीधे इस पहचान से निकालें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{9}{2}\right\)2-8=\frac{65}{4}). In exams, use this identity for square of difference.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{2}=\frac{9}{2}\) है। परीक्षा में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{2}=\frac{9}{2}\). In exams, keep the sign of (b) carefully.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{7}{10}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{7}{10}\). In exams, first write sum and product for reciprocal questions.
\(\alpha+\beta=11\) और \(\alpha\beta=30\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=(11)2-2(30)=61) है। परीक्षा में पहचान (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) याद रखें। / \(\alpha+\beta=11\) and \(\alpha\beta=30\), so (\alpha-2+\beta-2=(11)2-2(30)=61). In exams, remember the identity (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{4}\) है, इसलिए \(\frac{p}{4}=\frac{3}{2}\) से (p=6) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{4}\), so \(\frac{p}{4}=\frac{3}{2}\) gives (p=6). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
मूलों का योग \(-\frac{p}{3}\) है, इसलिए \(-\frac{p}{3}=-5\) से (p=15) है। परीक्षा में योग का सूत्र \(-\frac{b}{a}\) याद रखें। / The sum of roots is \(-\frac{p}{3}\), so \(-\frac{p}{3}=-5\) gives (p=15). In exams, remember the sum formula \(-\frac{b}{a}\).
(D=(-4)2-4(1)(1)=12), इसलिए \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-4)2-4(1)(1)=12), so \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\). In exams, simplify the square root.
((x+1)2=6x) से \(x^2+2x+1-6x=0\), यानी \(x^2-4x+1=0\) मिलता है। परीक्षा में गलत मध्य पद से बचें। / From ((x+1)2=6x), we get \(x^2+2x+1-6x=0\), that is \(x^2-4x+1=0\). In exams, avoid a wrong middle term.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+1)2=6x), इसलिए \(x^2+2x+1=6x\) और \(x^2-4x+1=0\) नहीं बल्कि जांच करने पर सही रूप ((x+1)2=6x) से \(x^2-4x+1=0\) बनता है। परीक्षा में क्रॉस गुणा बहुत सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+1)2=6x), so \(x^2+2x+1=6x\), and the correct form is \(x^2-4x+1=0\). In exams, cross multiply very carefully.
(2x-2-5x+2=(2x-1)(x-2)), इसलिए \(x=\frac{1}{2}\) और (2) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (2x-2-5x+2=(2x-1)(x-2)), so \(x=\frac{1}{2}\) and (2). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
दोनों पक्षों को (2x) से गुणा करने पर \(2+2x^2=5x\), यानी \(2x^2-5x+2=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (2x) gives \(2+2x^2=5x\), that is \(2x^2-5x+2=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
\(y^2-5y+4=0\) से (y=1,4), इसलिए \(x^2=1,4\) और \(x=\pm1,\pm2\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-5y+4=0\), (y=1,4), so \(x^2=1,4\) and \(x=\pm1,\pm2\). In exams, do not forget to return to (x).
क्योंकि (x-4=\(x^2\)2=y-2), इसलिए नया समीकरण \(y^2-5y+4=0\) है। परीक्षा में प्रतिस्थापन से कठिन रूप सरल हो सकता है। / Since (x-4=\(x^2\)2=y-2), the new equation is \(y^2-5y+4=0\). In exams, substitution can simplify difficult forms.
पूरे समीकरण को (4) से भाग देने पर (x-2-(a+b)x+ab=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाना आसान रहता है। / Dividing the whole equation by (4) gives (x-2-(a+b)x+ab=0). In exams, removing the common factor first is easier.
यह ((x-a)2-b-2=0) है, इसलिए \(x-a=\pm b\) और \(x=a\pm b\) हैं। परीक्षा में वर्गों के अंतर का प्रयोग करें। / It is ((x-a)2-b-2=0), so \(x-a=\pm b\) and \(x=a\pm b\). In exams, use the difference of squares.
(\(x+\sqrt{3}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(-\sqrt{3}\) है। परीक्षा में ((x+a)2=0) से (x=-a) मिलता है। / (\(x+\sqrt{3}\)2=0), so the repeated root is \(-\sqrt{3}\). In exams, ((x+a)2=0) gives (x=-a).
क्योंकि (3=\(\sqrt{3}\)2) और मध्य पद \(2\sqrt{3}x\) है, इसलिए यह (\(x+\sqrt{3}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (3=\(\sqrt{3}\)2) and the middle term is \(2\sqrt{3}x\), it is (\(x+\sqrt{3}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
(2x-2+3x-2=(2x-1)(x+2)), इसलिए \(x=\frac{1}{2},-2\) सही है। परीक्षा में गुणनखंडों से संकेत सावधानी से बदलें। / (2x-2+3x-2=(2x-1)(x+2)), so \(x=\frac{1}{2},-2\) is correct. In exams, change signs carefully from factors.
मूलों का योग (5) है, इसलिए दूसरा मूल (5-2=3) होगा। परीक्षा में एक मूल दिया हो तो योग या गुणनफल का प्रयोग करें। / The sum of roots is (5), so the other root is (5-2=3). In exams, use sum or product when one root is given.
पहले समीकरण के मूल \(2,\frac{1}{2}\) और दूसरे के मूल \(2,\frac{2}{3}\) हैं। परीक्षा में समान मूल के लिए दोनों समीकरण अलग हल करें। / The roots of the first equation are \(2,\frac{1}{2}\), and the roots of the second are \(2,\frac{2}{3}\). In exams, solve both equations separately for common root.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (36-4m=0) से (m=9) है। परीक्षा में समान मूल का मतलब (D=0) याद रखें। / For real and equal roots, (D=0), so (36-4m=0) gives (m=9). In exams, remember equal roots mean (D=0).
(3x-2-10x+3=(3x-1)(x-3)), इसलिए मूल \(\frac{1}{3}\) और (3) हैं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग या गुणनखंड दोनों से जांच सकते हैं। / (3x-2-10x+3=(3x-1)(x-3)), so the roots are \(\frac{1}{3}\) and (3). In exams, you may verify by completing square or factoring.
