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यदि
\(A=-6.25\), \(B=-\sqrt{39}\) और \(C=-\frac{25}{4}\) हैं, तो \(A\), \(B\) और \(C\) में से कौन-से दो बिंदु संख्या रेखा पर एक ही वास्तविक संख्या को दर्शाते हैं?
\(C=-\frac{25}{4}=-(25\div 4)=-6.25\), इसलिए \(A=C\) है और दोनों बिंदु संख्या रेखा पर एक ही स्थान दर्शाते हैं। \(B=-\sqrt{39}\) अलग है, क्योंकि \(\sqrt{39}\neq 6.25\) और वास्तव में \(6.25^2=39.0625\), न कि \(39\)। परीक्षा-युक्ति: दशमलव और भिन्न की तुलना करने के लिए भिन्न को दशमलव में बदलें। / \(C=-\frac{25}{4}=-(25\div 4)=-6.25\), so \(A=C\) and both points represent the same position on the number line. \(B=-\sqrt{39}\) is different because \(\sqrt{39}\neq 6.25\); in fact, \(6.25^2=39.0625\), not \(39\). Exam tip: Convert a fraction to decimal form when comparing it with a terminating decimal.
चूँकि \\(5.2<x<5.3\\) और दोनों सीमाएँ धनात्मक हैं, इसलिए वर्ग करने पर \\(5.2^2<a<5.3^2\\) प्राप्त होता है। अतः \\(27.04<a<28.09\\)। दिए गए विकल्पों में केवल 28 इस अंतराल में है; 26 और 25 छोटे तथा 30 बड़ा है। परीक्षा में धनात्मक असमानता का वर्ग करते समय क्रम अपरिवर्तित रहता है। / Since \\(5.2<x<5.3\\) and both bounds are positive, squaring preserves the inequality: \\(5.2^2<a<5.3^2\\). Thus, \\(27.04<a<28.09\\). Among the given options, only 28 lies in this interval; 26 and 25 are too small, while 30 is too large. Exam tip: when both sides of an inequality are positive, squaring does not reverse its order.
\(80=16\times5\) और \(16\) सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड है। इसलिए \(\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=4\sqrt{5}\)। विकल्प B, \(2\sqrt{20}\), बराबर तो है, लेकिन यह सरलतम रूप नहीं है। लगभग मान \(4\sqrt{5}\approx8.94\) होने से संख्या रेखा पर इसका स्थान 8 और 9 के बीच होगा। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल को सरल करते समय सबसे बड़े पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / Since \(80=16\times5\) and 16 is the largest perfect-square factor of 80, \(\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=4\sqrt{5}\). Option B, \(2\sqrt{20}\), is equivalent but not in simplest form. Also, \(4\sqrt{5}\approx8.94\), so the number lies between 8 and 9 on the number line. Exam tip: when simplifying a square root, extract the largest perfect-square factor.
तुलना करने के लिए \(3-\sqrt{2}<\frac{8}{5}\) को देखें। यह \(\sqrt{2}>\frac{7}{5}\) के समतुल्य है। दोनों पक्ष धनात्मक हैं और \(2=\frac{50}{25}>\frac{49}{25}=\left(\frac{7}{5}\right)^2\), इसलिए \(\sqrt{2}>\frac{7}{5}\)। अतः \(3-\sqrt{2}<\frac{8}{5}\)। लगभग मान भी \(1.586<1.6\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग करने से पहले सुनिश्चित करें कि दोनों पक्ष धनात्मक हों, ताकि असमता की दिशा न बदले। / To compare the two numbers, rewrite \(3-\sqrt{2}<\frac{8}{5}\) as \(\sqrt{2}>\frac{7}{5}\). Both sides are positive, and \(2=\frac{50}{25}>\frac{49}{25}=\left(\frac{7}{5}\right)^2\), so \(\sqrt{2}>\frac{7}{5}\). Hence \(3-\sqrt{2}<\frac{8}{5}\). Their approximate values, \(1.586\) and \(1.6\), confirm this; therefore option B is incorrect. Exam tip: check that both sides are non-negative before squaring an inequality.
\(\sqrt{3}\approx1.732\), इसलिए \(\sqrt{3}+\frac{1}{4}\approx1.982\)। अब \(1.99>1.982\) और \(1.99<2\), अतः सही उत्तर 1.99 है। विकल्प 1.95 और 1.90 इस व्यंजक से छोटे हैं, जबकि 2.10, 2 से बड़ा है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले अपरिमेय व्यंजक का उचित दशमलव सन्निकटन निकालकर दिए गए मानों से तुलना करें। / Since \(\sqrt{3}\approx1.732\), we get \(\sqrt{3}+\frac{1}{4}\approx1.982\). Thus, \(1.99>1.982\) and \(1.99<2\), so 1.99 is correct. The values 1.95 and 1.90 are smaller than the expression, while 2.10 is greater than 2. Exam tip: First find a suitable decimal approximation of the irrational expression, then compare it with the given values.
पहले वर्गमूल निकालें: \(\sqrt{64}=8\)। अतः \(\frac{\sqrt{64}-3}{5}=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1\)। इसलिए संख्या रेखा पर यह बिंदु 1 को निरूपित करता है। विकल्प D केवल अंश \(3\) को 5 से भाग देने पर मिलता है; परीक्षा में पहले वर्गमूल और फिर घटाव करने का क्रम रखें। / First evaluate the square root: \(\sqrt{64}=8\). Therefore, \(\frac{\sqrt{64}-3}{5}=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1\). Hence, the expression represents the point 1 on the number line. Option D results from dividing 3 by 5 without correctly evaluating the numerator; evaluate the square root and subtraction before dividing.
क्योंकि \(4.8^2=23.04\) और \(4.9^2=24.01\) हैं तथा \(23.04<24<24.01\), इसलिए \(4.8<\sqrt{24}<4.9\)। विकल्प B और D बहुत छोटे अंतराल देते हैं, जबकि विकल्प C में दोनों सिरों के वर्ग 24 से बड़े हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी वर्गमूल की दशमलव सीमा जाँचने के लिए सीमा-बिंदुओं के वर्ग की तुलना मूल संख्या से करें। / Since \(4.8^2=23.04\) and \(4.9^2=24.01\), and \(23.04<24<24.01\), it follows that \(4.8<\sqrt{24}<4.9\). Options B and D give intervals that are too small, while both endpoints in option C have squares greater than 24. Exam tip: To verify a decimal bound for a square root, compare the squares of its endpoints with the given number.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2.828\), \(\frac{14}{5}=2.8\), और \(c=2.81\)। इसलिए क्रम \(2.8<2.81<2.828\) है और संख्या \(a\) सबसे बड़ी है। निकटतम भ्रम \(c\) को लेकर हो सकता है, लेकिन \(2.828>2.81\) है। परीक्षा में अपरिमेय या भिन्नों की तुलना करने के लिए उन्हें दशमलव रूप में बदलना उपयोगी होता है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2.828\), \(\frac{14}{5}=2.8\), and \(c=2.81\). Thus, \(2.8<2.81<2.828\), so \(a\) is the greatest number. The closest distractor is \(c\), but \(2.828>2.81\). In an exam, converting radicals and fractions to comparable decimal forms is a quick way to compare them.
क्योंकि \(6<\sqrt{45}<7\), इसलिए \(-7< -\sqrt{45}< -6\)। दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर \(-5<p<-4\) प्राप्त होता है। अतः \(p\), \(-5\) और \(-4\) के बीच स्थित है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(p\) का मान \(-4\) से भी छोटा है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल का दशमलव निकालने के बजाय उसके निकटवर्ती पूर्ण वर्गों से तुलना करें। / Since \(6<\sqrt{45}<7\), multiplying by \(-1\) reverses the inequalities: \(-7< -\sqrt{45}< -6\). Adding 2 throughout gives \(-5<p<-4\). Therefore, \(p\) lies between \(-5\) and \(-4\). Option B is incorrect because \(p\) is less than \(-4\). Exam tip: Compare a square root with neighbouring perfect squares instead of calculating its decimal value.
क्योंकि \(0.09\times0.09=0.0081\), इसलिए \(\sqrt{0.0081}=0.09\) है। वर्गमूल का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है, इसलिए संख्या रेखा पर बिंदु \(0.09\) पर होगा। \(0.9\) का वर्ग \(0.81\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में दशमलव स्थानों की संख्या अवश्य जाँचें। / Since \(0.09\times0.09=0.0081\), we get \(\sqrt{0.0081}=0.09\). The principal square root is taken as non-negative, so the point is represented at \(0.09\) on the number line. The closest distractor, \(0.9\), gives \(0.9^2=0.81\), not \(0.0081\). In the exam, verify the decimal places by squaring the chosen value.
\(-\frac{17}{5}=-3.4\) होता है। संख्या रेखा पर \(-3.4\), \(-4\) के दाईं ओर और \(-3\) के बाईं ओर स्थित है; इसलिए यह \(-4\) और \(-3\) के बीच है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या अधिक ऋणात्मक होती है, वह संख्या रेखा पर अधिक बाईं ओर होती है। / \(-\frac{17}{5}=-3.4\). On the number line, \(-3.4\) lies to the right of \(-4\) and to the left of \(-3\), so it lies between \(-4\) and \(-3\). Exam tip: for negative numbers, the number with the greater magnitude is farther to the left on the number line.
क्योंकि \(6.4<\sqrt{n}<6.5\), दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(6.4^2<n<6.5^2\) मिलता है। अतः \(40.96<n<42.25\)। दिए गए विकल्पों में केवल 42 इस सीमा में है। 40 सीमा से कम है, जबकि 45 और 49 सीमा से अधिक हैं। परीक्षा में ऐसी असमानता में धनात्मक संख्याओं का वर्ग करते समय असमानता की दिशा समान रहती है। / Since \(6.4<\sqrt{n}<6.5\), squaring both sides gives \(6.4^2<n<6.5^2\). Therefore, \(40.96<n<42.25\). Among the given choices, only 42 lies in this interval. The values 40, 45 and 49 fall outside it. Exam tip: for positive quantities, squaring preserves the direction of the inequality.
इस संख्या का दशमलव प्रसार अनंत है और उसमें अंकों का कोई निश्चित आवर्ती समूह नहीं दोहराता; 2 के बाद 7 की संख्या लगातार बढ़ती जाती है। इसलिए इसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता और यह अपरिमेय संख्या है। परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या आवर्ती। परीक्षा-टिप: अनंत, अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / The decimal expansion is non-terminating and non-repeating because the number of 7s after each 2 keeps increasing. Therefore, it cannot be expressed in the form p/q and is irrational. A rational number has a terminating or recurring decimal expansion, so option B is incorrect. Exam tip: a non-terminating, non-repeating decimal is irrational.
संख्या रेखा पर बाईं ओर जाने का अर्थ है दिए गए निर्देशांक में दूरी घटाना। इसलिए \(C=-1-\sqrt{6}\) होगा। विकल्प B में दूरी जोड़ी गई है, इसलिए वह बिंदु \(-1\) के दाईं ओर होगा। परीक्षा-युक्ति: संख्या रेखा पर बाईं दिशा के लिए ऋणात्मक और दाईं दिशा के लिए धनात्मक परिवर्तन करें। / Moving left on the number line means subtracting the given distance from the starting coordinate. Hence, \(C=-1-\sqrt{6}\). Option B adds the distance and therefore represents a point to the right of \(-1\). Exam tip: subtract distances when moving left and add them when moving right.
क्योंकि \(\sqrt{81}=9\), इसलिए \(x=\frac{9}{4}\) होगा। विकल्प B में वर्गमूल निकालने के बजाय 81 को सीधे लिया गया है, जबकि विकल्प C और D सही सरलीकरण नहीं हैं। परीक्षा में पहले वर्गमूल का मान निकालकर फिर भाग करना याद रखें। / Since \(\sqrt{81}=9\), we get \(x=\frac{9}{4}\). Option B incorrectly uses 81 instead of its square root, while options C and D do not result from the given expression. In the exam, simplify the square root first and then perform the division.
क्योंकि (1.7)2=2.89), इसलिए धनात्मक मुख्य वर्गमूल \(\sqrt{2.89}=1.7\) है। अतः इसे संख्या रेखा पर 1.7 निर्देशांक वाले बिंदु पर चिन्हित किया जाएगा। 1.6 और 1.8 के वर्ग क्रमशः 2.56 और 3.24 हैं, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा में दशमलव संख्या का वर्ग करके ऐसे वर्गमूल को शीघ्र पहचानें। / Since (1.7)2=2.89), the principal square root is \(\sqrt{2.89}=1.7\). Therefore, it is marked at the point with coordinate 1.7. The squares of 1.6 and 1.8 are 2.56 and 3.24, respectively, so they are not correct. In an exam, check whether the decimal is a perfect square to find such roots quickly.
\(\sqrt{5}\approx2.236\) और \(\sqrt{2}\approx1.414\), इसलिए अंतर लगभग (0.822) है। अपरिमेयों के अंतर का स्थान निकालने के लिए छोटे अनुमान उपयोग करें। / \(\sqrt{5}\approx2.236\) and \(\sqrt{2}\approx1.414\), so the difference is about (0.822). Use short approximations to locate differences of irrationals.
क्योंकि \(4^2+1^2=17\), इसलिए कर्ण \(\sqrt{17}\) होगा। संख्या रेखा पर वर्गमूल निर्माण में पाइथागोरस प्रमेय उपयोगी है। / Because \(4^2+1^2=17\), the hypotenuse will be \(\sqrt{17}\). Pythagoras theorem is useful for square-root construction on the number line.
\(\pi\approx3.14\) और \(\sqrt{10}\approx3.16\), इसलिए \(\pi<\sqrt{10}\)। निकट अपरिमेयों की तुलना में अच्छे अनुमान उपयोगी होते हैं। / \(\pi\approx3.14\) and \(\sqrt{10}\approx3.16\), so \(\pi<\sqrt{10}\). Good approximations help compare close irrationals.
\(\sqrt{9}=3\), और बाएँ जाने पर घटाते हैं, इसलिए (P=4-3=1)। दिशा वाले प्रश्न में पहले दूरी सरल करें। / \(\sqrt{9}=3\), and moving left means subtracting, so (P=4-3=1). In direction questions, simplify the distance first.
sqrt{50} = sqrt{25times2} = 5sqrt{2}। क्योंकि sqrt{2} लगभग 1.414 है, इसलिए sqrt{50} approx 5times1.414 = 7.07। अतः सही उत्तर 7.07 है। 6.07 निकट दिख सकता है, लेकिन sqrt{50}, sqrt{49}=7 से थोड़ा अधिक है। परीक्षा-युक्ति: पहले 72<50<82 से मान की सीमा जाँच लें। / sqrt{50} = sqrt{25times2} = 5sqrt{2}. Since sqrt{2} is approximately 1.414, sqrt{50} approx 5times1.414 = 7.07. Therefore, the correct value is 7.07. The distractor 6.07 is incorrect because sqrt{50} is slightly greater than sqrt{49}=7. Exam tip: First check the bounds using 72<50<82.
A. -\(\frac{5}{6}\), \(-\frac{3}{4}\), \(-\frac{2}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्याओं में अधिक परिमाण वाली संख्या अधिक बाएँ होती है, इसलिए क्रम \(-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}\) है। पहले धनात्मक मानों की तुलना करें, फिर क्रम उलटें। / For negative numbers, the one with larger magnitude is farther left, so \(-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}\). Compare positive values first, then reverse the order.
\(2.6^2=6.76\) और \(2.7^2=7.29\), इसलिए \(\sqrt{7}\) इनके बीच है। अनुमान को वर्ग करके जाँचें। / \(2.6^2=6.76\) and \(2.7^2=7.29\), so \(\sqrt{7}\) lies between them. Check an estimate by squaring.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए मध्य बिंदु \(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) है। सरलीकरण के बाद औसत लें। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the midpoint is \(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\). Simplify first, then average.
\(\sqrt{25}=5\) और \(\sqrt{4}=2\), इसलिए \(\sqrt{25}-\sqrt{4}=3\)। पूर्ण वर्गों को तुरंत सरल करें। / \(\sqrt{25}=5\) and \(\sqrt{4}=2\), so \(\sqrt{25}-\sqrt{4}=3\). Simplify perfect squares immediately.
A. बाएँ \( \frac{7}{4} \) इकाई/Left \( \frac{7}{4} \) units
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्या (0) के बाएँ होती है और दूरी उसका निरपेक्ष मान \(\frac{7}{4}\) है। दिशा और दूरी को अलग-अलग पहचानें। / A negative number lies to the left of (0), and its distance is its absolute value \(\frac{7}{4}\). Identify direction and distance separately.
दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए तुलना करने के लिए उनके वर्ग कर सकते हैं। \(x^2=\left(\frac{17}{10}\right)^2=\frac{289}{100}=2.89\), जबकि \(y^2=(\sqrt{3})^2=3\)। अतः \(x^2<y^2\) से \(x<y\), इसलिए संख्या रेखा पर \(x\) बाईं ओर होगा। \(y\) बाईं ओर नहीं हो सकता क्योंकि उसका मान लगभग \(1.732\), जबकि \(x=1.7\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्याओं की तुलना वर्ग करके की जा सकती है। / Both numbers are positive, so their squares can be compared. \(x^2=\left(\frac{17}{10}\right)^2=\frac{289}{100}=2.89\), whereas \(y^2=(\sqrt{3})^2=3\). Thus, \(x^2<y^2\) implies \(x<y\), so \(x\) lies to the left on the number line. The distractor \(y\) is incorrect because \(y\approx1.732\), while \(x=1.7\). Exam tip: For positive numbers, comparing their squares is often easier than comparing the numbers directly.
\(\sqrt{9.61}\) का धनात्मक मान लिया जाता है। चूँकि \(3.1^2=3.1\times3.1=9.61\), इसलिए \(\sqrt{9.61}=3.1\)। विकल्प B का वर्ग \(9.0601\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में दशमलव संख्या का वर्ग निकालकर मूल की जाँच करें। / The principal square root is positive. Since \(3.1^2=3.1\times3.1=9.61\), it follows that \(\sqrt{9.61}=3.1\). Option B is incorrect because \(3.01^2=9.0601\), not \(9.61\). In the exam, verify a decimal square by multiplying the number by itself.
A. यह (0) और (1) के बीच अपरिमेय है/It is irrational between (0) and (1)
Explanation
Simple Explanation
यह दशमलव अनावर्ती और असांत है, इसलिए अपरिमेय है और (0) से (1) के बीच है। दशमलव पैटर्न देखकर परिमेयता पहचानें। / This decimal is non-terminating and non-repeating, so it is irrational and lies between (0) and (1). Identify rationality by the decimal pattern.
क्योंकि \(3<\sqrt{12}<4\), इसलिए \(-4<-\sqrt{12}<-3\)। ऋणात्मक करने पर असमानता की दिशा बदलती है। / Since \(3<\sqrt{12}<4\), \(-4<-\sqrt{12}<-3\). Multiplying by a negative reverses the inequality.
